算法趣题之螺旋队列



 

螺旋队列的样子如下图：

两大规律：

1、螺旋规律

2、奇数（圈数，或X轴正坐标）平方规律（紫线）

 

问题描述：

 

设1的坐标是（0，0），x方向向右为正，y方向向下为正，例如，7的坐标为（-1，-1），2的坐标为（1，0）。编程实现输入任意一点坐标（x，y），输出所对应的数字！

 

 

问题解决：

从紫线突破。

从图中不难发现，每圈最大值max=(2*c+1)(2*c+1)，c为由内往外的圈数，c>=0。如图每圈最大值分别是1、9、25、49、81........，算出每圈的max后，就分4条边分别计算每圈的其他值。通过坐标落在该圈4条边的哪条边上，按照不同的公式计算出具体坐标点的值。

以第3圈（max=49）为例，4条边划分如下图（以颜色区分）：

 

这里先给出4条边上各坐标上的值与max的对应关系为：

上边：Utop = max+(x+y);

左边： Uleft= max+(3*x-y);

下边：Ubottom = max + (-x - 5*y);

右边：Uright = max+(-7*x+y);

 

那么这些关系是怎么得出来的呢？再看图中画上圈的数字（将其值表示为topBase,xxBase），我们称其为每条边的基准值：

 

 观察这些基准值与max值之间关系，不难发现，这些基准值与max之间的差分别是1C（上边），3C（左边），5C（下边），7C（右边）（C表示当前圈数），在上边和下边，y坐标表示（或等于）圈数（即C=y），而在左边和右边，x坐标表示（或等于）圈数（即C=x）。因此前面提到的差值又可用坐标表示成1y，3x，5y，7x。因此就产生了各边基准值的计算公式：

topBase=max+y

leftBase=max+3x

bottomBase=max-5y

rightBase=max-7x

（注意坐标的符号，负数加，正数减，因为基准值肯定都比max要小）

下面得出每条边的值，首先考虑上边和下边，这2条边，在基准值的基础上，由x坐标控制增减，因此：

topValue=topBase+x=max+y+x（上边，随x增而增，因此是加x）

bottomValue=bottomBase-x=max-5y-x（下边，随x增而减，因此是减x）

同理，左边和右边，则在基准值的基础上，由y坐标控制增减，因此：

leftValue=leftBase-y=max+3x-y（左边，随y增而减，因此是减y）

rightValue=rightBase+y=max-7x+y（右边，随y增而增，因此是加y）

总结：

(1)确定所在圈数t=max(abs(x),abs(y));

(2)根据圈数确定4条边的基准值;

(3)判断（x,y）在哪条边上，根据基准值得出（x,y）点对应的数。

编码实现：

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define MAX(x,y)   (x)>(y)?(x):(y)int Spiral(int x,int y){int t;        int max=0;     int TopBase,ButtomBase,LeftBase,RightBase;   //4条边的基准值t = MAX(abs(x),abs(y));   //圈数max = (2*t+1)*(2*t+1);   //每圈的最大值（完全平方数）TopBase = max - t;            //顶边基准值比最大值小 1*t,此t=-yButtomBase = max - 5*t;       //底边基准值比最大值小 5*t,此t=yLeftBase = max - 3*t;         //左边基准值比最大值小 3*t,此t=-xRightBase = max -7*t;         //右边基准值比最大值小 7*t,此t=xif(t==-y)   //该点在顶边 顺时针随X增大而增大return TopBase+x;if(t==y)    //点在底边  顺时针随X增大而减小return ButtomBase-x;if(t==-x)   //点在左边 顺时针随y增大而减小return LeftBase-y;if(t==x)   //点在右边  顺时针随Y增大而增大return RightBase+y;}int main(void){int x,y;for(y=-4;y<4;y++){for(x=-4;x<4;x++)printf("%4d",Spiral(x,y));   //注意X,Y顺序，不然打印出来的就是反序的printf("\n");}}