文献翻译第一篇——关于合成孔径雷达的数学指导

关于合成孔径雷达的数学指导

摘要

本文从数学的角度介绍了传统的条带式合成孔径雷达的基础。特别是,本文展示了如何利用一个简单的天线模型和线性化散射近似来预测接收到的信号。利用传统匹配滤波器来解释和分析展示SAR系统的分辨率。

1简介和背景

在传统条带式合成孔径雷达(SAR)成像中,一架飞机或卫星沿直线轨道飞行,我们假设该方向为x2轴。天线沿着与飞行轨迹垂直的方向发射电磁辐射脉冲(即。x1的方向)。这些波因地形散射,该天线又接收到散射的波形。将接收到的信号用来生成一副地形图像。

这些数据依赖两个变量,即沿着x2轴的时间和位置,所以我们希望能够重建关于这两个变量的函数。

正确的雷达模型当然是麦克斯韦方程组,但是更简单的0更为常用:

                             

 

上图展示了SAR系统的几何模型

这个方程满足自由空间中电和磁领域的所有部分,因此也成为一个干燥空气中波传播的好模型。当电磁波与地面相互作用,它们的极化作用肯定受影响,但如果SAR系统不测量极化,则(1)是一个合适的模型。

我们假设地面大致位于飞机的位置x3= 0，对于x3> 0的地方，波速为c(x) = c0，即真空（近似于干燥空气）中的光速。

在自由空间，在X，T由德塔函数点源位置y和时间T的场G0（t - T，X-Y）如下，由[16]给出

上式满足这样一个等式：

2 入射波

我们假设发射给天线的信号是

其中频率W0/ 2π叫做载波频率，A是缓慢变化的可合成的振幅

如果位于y点的源有时间历史（4），那么结果Uy(t, z−y)满足下列等式：

 

因此由下式得出

然而,天线不是一个点源。大多数传统SAR天线都是开槽波导[6, 18,10]或微带天线[15],无论哪种天线，一个好的数学模型是一个点源的均匀分配。我们分别由L和D表示天线的长度和宽度。天线中心由X表示，因此天线上的一个点可以写做y = x + q,其中q是天线中心和天线上一点的矢量长度。我们再介绍天线的坐标:q = s1ˆe1+ s2ˆe2,其中ˆe1和e2ˆ是分别沿着天线长和宽的单位矢量。矢量ˆe2沿着飞行的方向;直线飞行轨迹如图1所示,这将是x2轴。图1所示的侧视系统,ˆe1相对于x1轴是倾斜的,这样垂直于天线的矢量才指向飞行轨迹。

我们认为Z点是远离天线的一点；基于这点，有|q| << |z − x|，就得到如下近似式

其中hat指一个单位向量。我们使用这个式子扩展（6）

其中k = W0/C0.这个扩展式子是有效的因为我们还有kL2 << |z−x|.现在我们使用实际的|z −x| >> zd− x· q其中假设A是基本不变的。

远离天线,天线的场:

 

 

图2：这个图表明,如果p =z−x是一个单位向量,那么ˆp · ˆe2 = p2 ≈ sin  和ˆp · ˆe1 = p1 ≈ sin。这里 是标准天线向量和z− x在e1-e3平面投影的夹角。在这个图中,天线位于e1-e2平面。

其中

是天线波束图形其中sinc 。sinc函数在 达到它的波峰并在 处达到第一个零点，这个 值提供主峰的一半宽度，因此天线的主波束垂直于天线。sinc(kzd−x·e2L/2)函数当kzd− x·e2L/2 =  时有第一个零点，根据2 /k正好是 波长，我们就可以把上式写成 ，为了理解该条件，我们将该式写为

，在 角度较小时近似成立（见图2），因此当时，可以推出，在这种情况下，天线的主瓣波束图形在ˆe2方向角宽度。同样在ˆe1方向角宽度是。我们注意到更小的波长和更大的天线都可以使光束更加集中。

3 一个线性化散射模型

由经典的散射理论我们可以将散射解决方案（1）写成

当c(x) = c0时满足（1）式并且（见附录）

并且

常用的载波频率0,当光波摄入到地球后波形会迅速衰减。因此速度V在到达地球浅表层的时候依然可以保持。因此我们假设V满足这个公式V(z)=V(z1,z2)(z3)。

    一个常用的近似方法叫做玻恩近似或者是独立散射近似，可以用入射场来替代（13）右式中的。

这个近似的价值在于,它解决了逆问题中的非线性问题：由于入射场已知，它将两个未知数(V和)变成一个未知数(V)。

另一个可以在这里使用的线性化近似是基尔霍夫近似，这时入射场可以由几何光学近似替代[12]。然而,这里我们只考虑玻恩近似。

对于SAR系统,天线沿飞行轨迹发出一系列按格式(10)的波。特别是,我们假定天线在nT时刻位于xn位置同时发出一系列按格式(10)的波。换句话说,入射场就是

其中

是第n次发射散射场。我们使用表达式（15）找到一个近似第n次的发射散射场，得到的表达式是包含两个时间导数的P(t,x)。在计算这些时间导数时,我们根据事实A变化很缓慢从而得到

因此关于第N次发射时，玻恩近似散射场在天线中心测量为：

 

在（19）中，我们注意到2|z − xn|/c0是从天线中心到点Z的双向传播时间，分母中的对应于从天线和从Z点发出的球面波的几何传播。

在现实中,接收信号不是由天线中心某个独立点检测到的,而是整个天线收到信号。这意味着接收信号是传输信号的加权值。因此(19)式中的w应该是。我们继续简写为W。

在（19）中，分母中因式|z −xn|近似.从Z到飞行轨道（见图3）的距离，这种近似是正确的因为|z −xn|−1随着变量N变化缓慢

4 匹配滤波器处理

为了形成一个图像,首先将匹配滤波器应用于接收到的信号Sn(t):

其中bar表示复共轭。上式叫做一个匹配滤波器，“匹配”是由于在y点（也就是波恩近似中V (z) = (z − y)）有一个“点散射体”，接收到的信号与信号成比例。之所以使用匹配滤波器是因为它是提供最好的信噪比的最佳线性滤波器。

如果我们在（20）式中将（19）式代入（其中|z − |换成R0），然后再交换该式顺序，我们就会得出：

 其中

代表单视成像系统的点扩散函数：如果V (z) =(z − z0)，那么In(y) = Wn(y, z0)将与V的结果图像成正比。我们的目标是让这个点扩散函数尽可能接近脉冲函数。SAR的关键思想就是通过多个n的求和，即通过多重图像的信息求和来提高其点扩散函数。因此我们认为

其中点扩散函数

这个点扩散函数就称为SAR系统的广义模糊度函数。我们希望通过选择合适的P从而使W尽可能接近脉冲函数。

 

5 分辨率

系统分辨率可由（24）中的广义模糊度函数的调查决定。由（4）式的假设我们可将W写成

在（25）中，我们做出这样的变化，将变量t−nT→t，,然后根据A缓慢变化的事实。在这个近似中，A不再依赖于n并且可以从求和式中提出。指数上的时间抵消掉了，,因此模糊度函数写成

其中

还有

表3：方位分辨率计算的几何图示。

其中k= 0/c0。(26)中的第一个因式,WR,由（27）表示“快速时间”t,控制距离分辨率。(26)中的第二个因式WA，由（28）表示位置变量xn,有时也称为“慢速时间”因为它对应着飞行航线上相对缓慢的运动。因式WA控制方位角（“多普勒效应”）分辨率。

5.1 方位角分辨率

为了研究方位角分辨率，我们认为两个点y和z在同样的范围内，即距离航线相同的距离R0。尤其是，我们记y= (r,0,0)和z= (r, z2,0)。我们假设R0的范围比起航线的距离大的多，所以有|xn2| << R0和|xn2− z2| <<R0.（见图三）

    使用勾股定理，提出R0，然后将剩下的平方根展开得到近似展开式则（28）中的距离表达式就为：

我们将这个展开式用于（28）的指数。我们做这一步时，|xn − y|里面两个部分都消掉了，剩下

指数中不依赖于n的部分可以提出求和号，第一部分，我们利用= nvT,其中v是天线沿着航线的速度，因此（30）可以写为

这个求和式中n值得范围是由(11).式的天线波束方向图w宽度决定的。为了确定范围，我们用带宽和sinc函数主瓣宽度相同的特征函数来近似表示相关的sinc函数：

sinc ,其中 表示的函数在区间为1在该区间外为0。通过这样做，我们发现为有效的非零点仅当：

在(32)式我们使用(29)中R0近似解出：

其中我们用了等式 。从(33)可以看出天线移动的距离

其中点z依然在光束中。因此这是合成天线列的有效长度。在R0的有效范围内，它和角波束宽度2的天线辐照带宽度一样

    当我们用(33)中的=nvT 解n时,我们得出

将上式带入 (31), 我们得出

当N是小于2和 的最大整数时，(36)中指数的和在附录计算，我们得到

式(37)中分母上正弦函数的参数很小，所以近似为kz2vT/R0。另一方面，分子中参数包含合成数组的长度vT(N+1)≈ vT2R0/(vTL)=2R0/L=Leff.由此(37)式可近似写为

式(38)中指数有一个系数；剩下的因数和包含z2参数的sinc函数成比例，因此方位分辨率由z2取值确定，其中z2值是sine函数参数等同于，如下：

这是主瓣宽度的一半。因此全宽度：

这里我们用到(34).

    式(40)SAR系统的方位分辨率。这是一个非常令人惊讶的结论，原因有三：1)这是个独立的范围; 2)与 独立，和3)对小型天线更好。关于这三点的所有解释都在于合成阵列的有效长度。所以基于这点，合成天线列有效长度更大。更长的波长和较小的天线引起更广泛的天线波束模式,以便再次使合成天线列有效增大。

5.2 距离分辨率

在这一点上,我们唯一对P的假设是式(4)。因此我们还有自由选择A来提高距离分辨率。

    考虑到解决位置间隔 的两点散射的问题。为了得到完美的解决，我们使用脉冲函数；所以返回脉冲的时间间隔就是 .一个采样时间比这更好的系统就可以确定这两个散射体是位于不同的范围。

不幸的是，传输一个能量无穷大的脉冲例如的δ脉冲是不实际的。如果我们用一个在时间窗在T之外就为0的波形替代，那么当满足T < 2 r/c0回波就不会覆盖，因此当 r范围满足 r > Tc0/2长度为T的波阵就可以解决两个散射点的问题。因此,为了得到好的解决,我们愿意用很短的波列。

图4：线型调频信号 sin(.3t2).

不幸的是，因为任何传播域必然是有限振幅,短波列也有非常低的能量。这意味着,

从目标反射回来的小的能量,这些低能散射波会被噪声淹没。因此不能使用短脉冲。

围绕这一难题，SAR系统使用脉冲调制,传输一个复杂波形,然后对接收信号进行压缩，一般是通过匹配滤波器处理,合成短脉冲响应。最常用的调制脉冲是线性调频信号，其中包括线性调频。这个想法是通过标记波频率的不同部分,然后将这些添加到压缩过程中。

 

5.2.1 瞬时频率

如波F(t) = 的瞬时频率概念来源于常用的傅里叶变换积分的固定相分析:我们认为

傅里叶积分的被积函数

可以写成exp(i ( (t)−wt)),其中=1。通常大的固定相计算表明,主导顺序贡献的t值来源于t改变并不快的相。这发生在0 = (d/dt)((t)−wt)时，或者换句话说，当w = d/dt时，d/dt是F的瞬时频率。

5.2.2线性调频

线性调频信号是有限波列P(t) =(t) exp(i(t))其中瞬时频率随时间线性变化，这里表示特征函数有时间间隔[−/2,/2]，在这段时间内为1，外为0。在线性调频中，瞬时频率随时间线性增加如d/dt = 0 + Bt/。其中0/2 叫做载波频率B/2叫做带宽。为了决定，我们简单的由式子(t) =0t+ Bt2/(2 ). 因此线性调频波波列的形式

其中  = B/(2 )。我们注意到这样一个脉冲是(4)式的形式，其中

5.2.3 线性调频的距离分辨率

将(43)带入(27)式并使用简化的Ry=|x−y|,Rz= |x−z|:

我们扩大指数上的平方，其中消掉，剩下：

这里关于时间的积分得到sinc形式的函数

这个sinc函数主瓣的一半宽度取决于设置参数等于：B(Ry − Rz)/c0 = 。这表明当两个散射点的距离是Ry − Rz = 2_c0/B是可以得到解决的，换句话说，正如期望的那样更好的分辨率是通过宽带波波列得到的。

许多其他的脉冲压缩技术也成为可能(8、5)。

6 致谢

这项工作中一部分得到海军研究办公室,伦斯勒理工学院，隆德大学,和美国国家科学基金号EEC- 9986821下的工程研究中心项目支持。

我要感谢安德斯Derneryd为我提供SAR天线方面的信息和卡尔Langenberg发给我相关资料。最后,我要感谢以下人阅读较早草案并提供建设性的评论的: Karl Langenberg, Larry Carin, Brett Borden，匿名人士。

A 附录：技术细节

A.1 经典散射理论

为了证明(13)，我们首先写(1)式中U =     = +并且依据事实当c(x) = c0时 满足(13)；我们可以得出

我们可以看出将(3)代入(13)则(13)可以导出(47)。

我们注意到(13)表明一个点散射体的概念是有问题的。如果我们取V (y) =(y − y0)代入(13)，我们可以得到：

这表明,散射域在y0点是单一的（除非 一直是0）但是有奇异函数的冲激函数没有传统的意义。关于点散射问题在文献[1]中进行了研究

然而，载玻恩近似中,从一个点散射体发出的散射域是明确的和非零。

 

A.2 指数和

 

A.3Example: The ERS-1 SAR

A.3 例：

第一个欧洲遥感卫星[10],ERS-1,于1991年发射升空。它的SAR天线是一个开槽波导阵列,尺寸L = 10米D = 1米。这个对应波束宽度在方位角.288◦和高度5.4◦。载波频率为5.3 ghz,所以  = 2 ·5.3· 弧度/秒。系统发出upchirps为15.5MH带宽为 B / 2脉冲持续时间T为 37.1μs,脉冲重复频率1 / T为1680 Hz。视角(即。垂直和天线向量间夹角)为23◦。它的轨道在785公里的高度并巡视100公里宽度近远边分别为200公里和300公里,分别跟踪在地面上的投影。

 

 英文文献：A mathematical tutorial on synthetic aperture radar

http://wenku.baidu.com/link?url=2FcQQIxVGAu3tRV0c-g3Z-Gb1eSka3v7GOWSKSFfFqCbZKd6sdTgNw0PpKUA4YOAmY2pptOXufTiB_EUA0gHFiXMrrmweqXpfGKBXQHlQQy