树状数组 模版 及 解释

树状数组

当要频繁的对数组元素进行修改,同时又要频繁的查询数组内任一区间元素之和的时候,可以考虑使用树状数组.

通常对一维数组最直接的算法可以在O(1)时间内完成一次修改,但是需要O(n)时间来进行一次查询.而树状数组的修改和查询均可在O(log(n))的时间内完成.

必不可少的图：

                                                        C[8]                                                         /|                            ----------------------------/ |                          /                            /  |                        C[4]                  ------- /   |                        / |                 /        /    |            -----------/  |                /        /     |          /           /   |               /        /      |        C[2]         /    |             C[6]      |       |        / |         /     |            /  |       |       |    ---   |        /      |         --    |       |       |  /       |       /       |        /      |       |       |C[1]      |     C[3]      |     C[5]      |     C[7]      |  |       |       |       |       |       |       |       |  |       |       |       |       |       |       |       |A[1]    A[2]    A[3]    A[4]    A[5]    A[6]    A[7]    A[8] ......  

假设一维数组为Ai,则与它对应的树状数组Ci是这样定义的：

C1 = A1 C2 = A1 + A2 C3 = A3 C4 = A1 + A2 + A3 + A4 C5 = A5 C6 = A5 + A6C7 = A7 C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 …… C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10      + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16 ...... 

(1)C[t]展开以后有多少项？由下面公式计算：

int lowbit(int t){//计算c[t]展开的项数      return t&(-t);   } 

C[t]展开的项数就是lowbit(t),C[t]就是从A[t]开始往左连续求lowbit(t)个数的和.

回顾：C[ i ]＝A[i-2^k+1]+…+A[i] , k是i在二进制时末尾0的个数， 或者说是i用2的幂方和表示时的最小指数。 利用位运算，我们可以直接计算出:　2^k=i&(i^(i-1))或2^k=i&(-i)

(2)修改

比如修改了A3,必须修改C3,C4,C8,C16,C32,C64... 当我们修改A[i]的值时，可以从C[i]往根节点一路上溯，调整这条路上的所有C[]即可，对于节点i，父节点下标 p=i+lowbit(i)

//给A[i]加上 x后，更新一系列C[j]   update(int i,int x){     while(i<=n){       c[i]=c[i]+x;        i=i+lowbit(i);         }    }    

(3)求数列A[]的前n项和，只需找到n以前的所有最大子树，把其根节点的C加起来即可。

如：

        Sun(1)=C[1]=A[1];        Sun(2)=C[2]=A[1]+A[2];        Sun(3)=C[3]+C[2]=A[1]+A[2]+A[3];        Sun(4)=C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];        Sun(5)=C[5]+C[4];        Sun(6)=C[6]+C[4];        Sun(7)=C[7]+C[6]+C[4];        Sun(8)=C[8];        ,,,,,,

---

int Sum(int n) //求前n项的和.   {        int sum=0;        while(n>0)        {             sum+=C[n];             n=n-lowbit(n);        }            return sum;    }  

---

lowbit(1)=1       lowbit(2)=2       lowbit(3)=1       lowbit(4)=4  lowbit(5)=1       lowbit(6)=2       lowbit(7)=1       lowbit(8)=8  lowbit(9)=1       lowbit(10)=2      lowbit(11)=1      lowbit(12)=4  lowbit(13)=1      lowbit(14)=2      lowbit(15)=1      lowbit(16)=16  lowbit(17)=1      lowbit(18)=2      lowbit(19)=1      lowbit(20)=4  lowbit(21)=1      lowbit(22)=2      lowbit(23)=1      lowbit(24)=8  lowbit(25)=1      lowbit(26)=2      lowbit(27)=1      lowbit(28)=4  lowbit(29)=1      lowbit(30)=2      lowbit(31)=1      lowbit(32)=32  lowbit(33)=1      lowbit(34)=2      lowbit(35)=1      lowbit(36)=4  lowbit(37)=1      lowbit(38)=2      lowbit(39)=1      lowbit(40)=8  lowbit(41)=1      lowbit(42)=2      lowbit(43)=1      lowbit(44)=4  lowbit(45)=1      lowbit(46)=2      lowbit(47)=1      lowbit(48)=16  lowbit(49)=1      lowbit(50)=2      lowbit(51)=1      lowbit(52)=4  lowbit(53)=1      lowbit(54)=2      lowbit(55)=1      lowbit(56)=8  lowbit(57)=1      lowbit(58)=2      lowbit(59)=1      lowbit(60)=4  lowbit(61)=1      lowbit(62)=2      lowbit(63)=1      lowbit(64)=64

参考代码：

int C[1005];//树状数组int Max;//记录树状数组下标的最大值inline int lowbit(int i){    return i&(-i);}void plus(int loc,int data)//向位置loc处加上data{    while(loc<=Max)    {        C[loc]+=data;        loc+=lowbit(loc);    }}int sum(int loc)//求和{    int sum=0;    while(loc>0)    {        sum+=C[loc];        loc-=lowbit(loc);    }    return sum;}

树状数组小结:

注意：一般让求中间某一段的长度内的总和，故要用：Sum[end]-Sum[begin]+A[begin](或者是 Sum[end]-Sum[begin-1]更简洁);二维的情况可以自己试着写一下！

只需一个数组，两个函数（代码仅仅几行而已），我们就能在O（logn）的时间内，动态地维护一个序列，很轻松地求出一个区间元素值的总和！就这么简单！！