分配抄书员

问题

        有n本书和k个抄写员。要求n本书必须连续的分配给这k个抄写员抄写。也就是说前a1本书分给第一个抄写员，接下来a2本书分给第二个抄写员，如此类推（a1,a2需要你的算法来决定）。给定n,k和每本书的页数p1,p2..pn，假定每个抄写员速度一样（每分钟1页），k个抄写员同时开始抄写，问最少需要多少时间能够将所有书全部抄写完工？（提示：本题有很多种算法可以在不同的时间复杂度下解决，需要尽可能的想到所有的方法） 

 解法1：动态规划 设f[i][j]代表前i本书分给j个抄写员抄完的最少耗时。答案就是f[n][k]。状态转移方程f[i][j] = min{max(f[x][j-1],  sum(x+1, i)), j<x<i}。其中x是在枚举第j个抄写员是从哪本书开始抄写。 时间复杂度O(n^2*k)

//递归式f[i][j]=min{max(f[x][j-1],sum(x+1,i)),j<=x<i}//f[i][j]表示前i本书分给前j个人抄写最短时间//sum(x+1,i)表示第j个人抄写剩下的第x+1本书到第i本书总共i-x本书的总时间#include <stdio.h>#define N (20)#define Infinity (1000000)//索引从0开始int Page[N]={10,20,30,40,50,50,40,30,20,10,10,20,30,40,50,50,40,30,20,10};//索引从1开始int f[N][N];int cnt[N][N];//cnt[i][j]表示i本书分给j个人时，第j个人抄的本数int LstCpyTime(int BookNum, int MenNum){int sum[N][N]={0};//索引从0开始int i,j,x,min=Infinity;for(i=0;i<BookNum;i++)for(j=i;j<BookNum;j++)for(x=i;x<=j;x++)sum[i][j]+=Page[x];for(i=1;i<=BookNum;i++)f[i][1]=sum[0][i-1];for(j=2;j<=MenNum;j++)for (i=j;i<=BookNum;i++){f[i][j]=Infinity;for(x=j;x<=i;x++){min=(f[x][j-1]>sum[x][i-1])?f[x][j-1]:sum[x][i-1];if(min<f[i][j]){f[i][j]=min;cnt[i][j]=i-x;}}}return f[BookNum][MenNum];}//打印最优解，最优解不止一组void PrintBooksPerMan(int BookNum, int MenNum){if(MenNum==1)printf("%d ",BookNum);else if(MenNum>1){PrintBooksPerMan(BookNum-cnt[BookNum][MenNum],MenNum-1);printf("%d ",cnt[BookNum][MenNum]);}}int main(){int Books,Men,MinTime;scanf("%d %d",&Books,&Men);MinTime=LstCpyTime(Books,Men);printf("%d\n",MinTime);PrintBooksPerMan(Books,Men);}

注意：此处不能使用决策单调来优化，若在x的枚举上进行优化，设s[i][j]是使得f[i][j]获得最优值的x的值，表面上似乎有S[i][j-1] >=S[i][j]>=S[i-1][j],反例有S[5][2]=3,S[5][3]=4,S[4][3]=3,因此用决策单调无法将复杂度降低到O(n*k)。