使用位运算加速乘除法运算

位运算

    位运算的运算分量只能是整型或字符型数据，位运算把运算对象看作是由二进位组成的位串信息，按位完成指定的运算，得到位串信息的结果。

位运算符有：

    &(按位与)、|(按位或)、^(按位异或)、~ (按位取反)。

    其中，按位取反运算符是单目运算符，其余均为双目运算符。

    位运算符的优先级从高到低，依次为~、&、^、|，

    其中~的结合方向自右至左，且优先级高于算术运算符，其余运算符的结合方向都是自左至右，且优先级低于关系运算符。

   (1)按位与运算符(&)
    按位与运算将两个运算分量的对应位按位遵照以下规则进行计算：
     0 & 0 = 0, 0 & 1 = 0, 1 & 0 = 0, 1 & 1= 1。即同为 1 的位，结果为 1，否则结果为 0。
    例如，设3的内部表示为
     00000011
    5的内部表示为
     00000101
    则3&5的结果为
     00000001
    按位与运算有两种典型用法，一是取一个位串信息的某几位，如以下代码截取x的最低7位：x & 0177。二是让某变量保留某几位，其余位置0，如以下代码让x只保留最低6位：x = x & 077。以上用法都先要设计好一个常数，该常数只有需要的位是1，不需要的位是0。用它与指定的位串信息按位与。

   (2)按位或运算符(|)
    按位或运算将两个运算分量的对应位按位遵照以下规则进行计算：
     0 | 0 = 0, 0 | 1 = 1, 1 | 0 = 1, 1 | 1 = 1。即只要有1个是1的位，结果为1，否则为0。
    例如，023 | 035 结果为037。
    按位或运算的典型用法是将一个位串信息的某几位置成1。如将要获得最右4为1，其他位与变量j的其他位相同，可用逻辑或运算017|j。若要把这结果赋给变量j，可写成：
     j = 017|j

   (3)按位异或运算符(^)
    按位异或运算将两个运算分量的对应位按位遵照以下规则进行计算：
     0 ^ 0 = 0, 0 ^ 1 = 1, 1 ^ 0 = 1, 1 ^ 1 = 0。即相应位的值相同的，结果为 0，不相同的结果为 1。
    例如，013^035结果为026。
    异或运算的意思是求两个运算分量相应位值是否相异，相异的为1，相同的为0。按位异或运算的典型用法是求一个位串信息的某几位信息的反。如欲求整型变量j的最右4位信息的反，用逻辑异或运算017^j，就能求得j最右4位的信息的反,即原来为1的位，结果是0,原来为0的位，结果是1。

   (4)按位取反运算符(~)
    按位取反运算是单目运算，用来求一个位串信息按位的反，即哪些为0的位，结果是1，而哪些为1的位，结果是0。例如, ~7的结果为0xfff8。
    取反运算常用来生成与系统实现无关的常数。如要将变量x最低6位置成0，其余位不变，可用代码x = x & ~077实现。以上代码与整数x用2个字节还是用4个字节实现无关。
    当两个长度不同的数据进行位运算时(例如long型数据与int型数据)，将两个运算分量的右端对齐进行位运算。如果短的数为正数，高位用0补满；如果短的数为负数，高位用1补满。如果短的为无符号整数，则高位总是用0补满。
    位运算用来对位串信息进行运算，得到位串信息结果。如以下代码能取下整型变量k的位串信息的最右边为1的信息位：((k-1)^k) & k。

移位运算

    移位运算用来将整型或字符型数据作为二进位信息串作整体移动。有两个运算符：
     << (左移) 和 >> (右移)
移位运算是双目运算，有两个运算分量,左分量为移位数据对象，右分量的值为移位位数。移位运算将左运算分量视作由二进位组成的位串信息,对其作向左或向右移位，得到新的位串信息。
    移位运算符的优先级低于算术运算符，高于关系运算符，它们的结合方向是自左至右。

   (1)左移运算符(<<)
    左移运算将一个位串信息向左移指定的位，右端空出的位用0补充。例如014<<2,结果为060,即48。
    左移时，空出的右端用0补充，左端移出的位的信息就被丢弃。在二进制数运算中，在信息没有因移动而丢失的情况下，每左移1位相当于乘2。如4 << 2，结果为16。

   (2)右移运算符(>>)
    右移运算将一个位串信息向右移指定的位，右端移出的位的信息被丢弃。例如12>>2,结果为3。与左移相反，对于小整数，每右移1位，相当于除以2。在右移时，需要注意符号位问题。对无符号数据，右移时，左端空出的位用0补充。对于带符号的数据，如果移位前符号位为0(正数)，则左端也是用0补充；如果移位前符号位为1(负数)，则左端用0或用1补充，取决于计算机系统。对于负数右移，称用0 补充的系统为“逻辑右移”，用1补充的系统为“算术右移”。以下代码能说明读者上机的系统所采用的右移方法：
     printf("%d/n/n/n", -2>>4);
若输出结果为-1，是采用算术右移；输出结果为一个大整数，则为逻辑右移。
   

 举例：

1.已知 :

unsigned int temp=1000;

unsigned intresult=0;

要求出result = value * 10%

最直接的方法是 :  result = (temp * 10) /100;

使用位运算的方法是 :  result = (temp >> 4) + (temp >> 5) +(temp >> 8) + (temp >> 9);

测试代码 :

unsigned int temp=1000;

unsigned int result1=1;

unsigned int result2=1;

int main(void)

{

    result1 =(temp>>4) + (temp>>5) + (temp>>8) + (temp>>9);  //位运算

    asm("nop");

    asm("nop");

    result2 = ( temp*10)/100;                             //乘除法

    asm("nop");

    asm("nop");

    while(1) ;

}

结果为 :result1 = 97、result2 = 100;

由位运算求出的10%误差是3%、而乘除法的结果没有误差。

在很多情况下都不需要绝对精确的结果、所以上面的差值3是完全可以接受的。

现在来看看上面使用的位运算 :

求temp的10%的表达式

result = (temp >> 4) + (temp >>5) + (temp >> 8) + (temp >> 9);

是怎么来的呢。

x/64、用移位表示就是x>>6、知道这种表示法、自然就会明白了。

10%用二进制表示出来就是 :

1/(2^4) + 1/(2^5) + 1/(2^8) + 1/(2^9) =0.099609375、即9.96%、约等于10%。

所以结果就是 :

= temp * (  1/(2^4) + 1/(2^5) +1/(2^8) + 1/(2^9)  )

= temp / (2^4) + temp / (2^5) + temp /(2^8) + temp / (2^9)

= (temp >> 4) + (temp >> 5) +(temp >> 8) + (temp >> 9)

这里注意要加括号’()’、因为移位运算的优先级比加减法低

10%用到减法来表示的情况 :

(1/(2^3) - 1/(2^5) + 1/(2^7) -1/(2^9)) =0.099609375

误差 :

方法很简单、但是要注意误差的存在。

我们的表达式里面有4个部分1/(2^4) + 1/(2^5) + 1/(2^8) + 1/(2^9)、

如果只要三项1/(2^4) + 1/(2^5) + 1/(2^8)、结果就是0.09765625=9.76%

误差增大了、要得到越小的误差、需要的项数就越多。

使用5项时误差更小1/(2^4) + 1/(2^5) + 1/(2^8) + 1/(2^9) + 1/(2^11)=0.10009765625=10.00%。

但是使用的项数运算量越大，而且移位的位数越大、运算量也越大。

temp>>9需要移位次、temp>>11需要移位10次。

所以只要误差可接受即可、不必耗费更多的代价来得到更高的精度。

 

2.

比如运算2乘以8

a=2*8；

可以写为  a= 2<<3,

表示2左移三位

另外整数不是2的幂的数也可以利用这种方式

比如 b=b*9

可以看做b=b*（8+1）=b*8+b

从而 b=b<<3 +b

从而b=b*7改为 b=b<<3-b