poj 3020 最小边覆盖与最大匹配 匈牙利算法

转载地址：http://blog.csdn.net/lyy289065406/article/details/6647040

 做了一些题之后感觉自己的知识储备真的太少了，很多东西都不知道；

提示：别被图片的圈圈误导了，看清楚题目，'*'是城市，'o'是空地，椭圆的天线覆盖范围要覆盖的是城市'*',而不是覆盖空地

 

题目大意：

一个矩形中，有N个城市’*’，现在这n个城市都要覆盖无线，若放置一个基站，那么它至多可以覆盖相邻的两个城市。
问至少放置多少个基站才能使得所有的城市都覆盖无线？

解题思路：

思前想后，依稀可以认为是一道求二分图的最小路径覆盖问题

（注意不是最小点覆盖）

 

那么接下来需要确认的是，

究竟是求 有向二分图的最小路覆盖，还是求 无向二分图的最小路覆盖

因为有向和无向是截然不同的计算方法。

 

要确认是构造有向图，还是构造无向图，那么就需要先根据题意，看看构造二分图时所使用的方式，更适合构造哪一种二分图。

 

然后就进入了本题难点：如何构造二分图

 

首先要明确的是，输入的一堆“圈圈星星”可以看做是一张大地图，地图上有所有城市的坐标，但是这里有一个误区：不能简单地把城市的两个x、y坐标作为准备构造的二分图的两个顶点集。

城市才是要构造的二分图的顶点！

构造方法如下：

例如输入：

*oo

***

O*o

时，可以抽象为一个数字地图：

100

234

050

数字就是根据输入的城市次序作为该城市的编号，0代表该位置没有城市。

然后根据题目的“范围”规则，从第一个城市开始，以自身作为中心城市，向四个方向的城市进行连线（覆盖）

因此就能够得到边集：

e12  e21     e32     e43    e53

     e23     e34

             e35

可以看到，这些边都是有向边，但是每一条边都有与其对应的一条相反边。

即任意两个城市（顶点）之间的边是成对出现的

那么我们就可以确定下来，应该 构造无向二分图（其实无向=双向）

因为若要构造有向的二分图时，需要判断已出现的边，是很麻烦的工作

 

为了把有向图G构造为无向二分图，这里需要引入一个新名词“拆点”

其实就是把原有向图G的每一个顶点都”拆分（我认为复制更准确）”为2个点，分别属于所要构造的二分图的两个顶点集

 

例如在刚才的例子中抽出一条有向边e12举例说明：

复制顶点1和顶点2，使得1，2∈V1；  1’，2’∈V2 ，不难发现|V1|=|V2|

根据边e12和e21，得到无向二分图：

 

那么同理就可以得到刚才的例子的 无向二分图为：

 

再继而通过无向二分图，以V1的元素作为row，V2的元素作为col，构造 可达矩阵 存储到计算机

   1’  2’  3’  4’  5’

1  F  T   F   F   F

2  T  F   T   F   F

3  F  T   F   T   T

4  F  F   T   F   F

5  F  F   T   F   F

 

接下来就是要求这个 无向二分图的最小路径覆盖 了

利用公式：

 

无向二分图的最小路径覆盖 = 顶点数 – 最大二分匹配数/2

 

顶点数：就是用于构造无向二分图的城市数，即进行“拆点”操作前的顶点数量

最大二分匹配书之所以要除以2，是因为进行了“拆点”擦奥做做使得匹配总数多了一倍，因此除以2得到原图的真正的匹配数

 

最后剩下的问题就是求最大二分匹配数了，用匈牙利算法，这就不多说了，参考POJ3041的做法，基本一摸一样。

 

从这道题得出了一个结论：

当二分图的两个顶点子集基数相等时，该二分图所有顶点的匹配数 等于 任意一个顶点子集匹配数的2倍 

其实匈牙利算法解题是极为简单的，但是图论的难并不是难在解答，而是建图的过程，也难怪会有牛曰：用匈牙利算法，建图是痛苦的，最后是快乐的。

//Memory Time //420K   16MS #include<iostream>using namespace std;int ipmap[41][11];   //标记存在城市'*'的位置，并依次记录城市的编号int ip;     //城市编号（最终是城市数量）int V1,V2;  //二分图的两个顶点集int M;      //最大二分匹配bool city[401][401];   //标记两个城市之间是否能连通                      //通过“拆点”操作，把每一个城市拆分为2个，分别属于所构造的二分图的两个点集bool vist[401];int link[401];int dire_r[4]={-1,1,0,0};int dire_c[4]={0,0,-1,1};   //分别对应四个方位 上 下 左 右/*Hungary Algorithm*/bool dfs(int x){for(int y=1;y<=V2;y++)if(city[x][y] && !vist[y]){vist[y]=true;if(link[y]==0 || dfs(link[y])){link[y]=x;return true;}}return false;}void search(void){for(int x=1;x<=V1;x++){memset(vist,false,sizeof(vist));if(dfs(x))M++;}return;}int main(void){int test,h,w;cin>>test;while(test--){/*Initial*/memset(ipmap,0,sizeof(ipmap));memset(city,false,sizeof(city));memset(link,0,sizeof(link));ip=0;M=0;/*Read in the maps*/cin>>h>>w;int i,j;char temp;for(i=1;i<=h;i++)for(j=1;j<=w;j++){cin>>temp;if(temp=='*')ipmap[i][j]=++ip;}/*Structure the Bipartite Graphs*/for(i=1;i<=h;i++)for(j=1;j<=w;j++)if(ipmap[i][j])for(int k=0;k<4;k++){int x=i+dire_r[k];int y=j+dire_c[k];if(ipmap[x][y])city[ ipmap[i][j] ][ ipmap[x][y] ]=true;      //"拆点"操作是"顺便"被完成的}                                                    //二分图构造完毕后，之后的问题就和POJ3041一样处理了V1=V2=ip;/*增广轨搜索*/search();/*Output*/cout<<ip-M/2<<endl;   //无向二分图：最小路径覆盖数 = "拆点"前原图的顶点数 - 最大匹配数/2}return 0;}