POJ 3020 Antenna Placement(匈牙利算法—最小路径覆盖)

题目链接：POJ 3020 Antenna Placement

首先要明确的是，输入的一堆“圈圈星星”可以看做是一张大地图，地图上有所有城市的坐标，但是这里有一个误区：不能简单地把城市的两个x、y坐标作为准备构造的二分图的两个顶点集。

城市才是要构造的二分图的顶点！

构造方法如下：

例如输入：

*oo

***

O*o

时，可以抽象为一个数字地图：

100

234

050

数字就是根据输入的城市次序作为该城市的编号，0代表该位置没有城市。

然后根据题目的“范围”规则，从第一个城市开始，以自身作为中心城市，向四个方向的城市进行连线（覆盖）

因此就能够得到边集：

e12  e21     e32     e43    e53

     e23     e34

             e35

可以看到，这些边都是有向边，但是每一条边都有与其对应的一条相反边。

即任意两个城市（顶点）之间的边是成对出现的

那么我们就可以确定下来，应该 构造无向二分图（其实无向=双向）

因为若要构造有向的二分图时，需要判断已出现的边，是很麻烦的工作

 

为了把有向图G构造为无向二分图，这里需要引入一个新名词“拆点”

其实就是把原有向图G的每一个顶点都”拆分（我认为复制更准确）”为2个点，分别属于所要构造的二分图的两个顶点集

 

例如在刚才的例子中抽出一条有向边e12举例说明：

复制顶点1和顶点2，使得1，2∈V1；  1’，2’∈V2 ，不难发现|V1|=|V2|

根据边e12和e21，得到无向二分图：

 

那么同理就可以得到刚才的例子的 无向二分图为：

 

再继而通过无向二分图，以V1的元素作为row，V2的元素作为col，构造 可达矩阵 存储到计算机

   1’  2’  3’  4’  5’

1  F  T   F   F   F

2  T  F   T   F   F

3  F  T   F   T   T

4  F  F   T   F   F

5  F  F   T   F   F

 

接下来就是要求这个 无向二分图的最小路径覆盖 了

利用公式：

 

无向二分图的最小路径覆盖 = 顶点数 – 最大二分匹配数/2

 

顶点数：就是用于构造无向二分图的城市数，即进行“拆点”操作前的顶点数量

最大二分匹配书之所以要除以2，是因为进行了“拆点”擦奥做做使得匹配总数多了一倍，因此除以2得到原图的真正的匹配数

 

最后剩下的问题就是求最大二分匹配数了，用匈牙利算法，这就不多说了，参考POJ3041的做法，基本一摸一样。

 

从这道题得出了一个结论：

当二分图的两个顶点子集基数相等时，该二分图所有顶点的匹配数 等于 任意一个顶点子集匹配数的2倍 

以上来自：http://blog.csdn.net/lyy289065406/article/details/6647040

这个题并没有说求出来的路径不相交，但是想想题意中已经隐含了这一点。

1、每个基站只能覆盖两个，那显然不会出现交叉出十字路口这一情况。

2、相交于端点这种情况也是不存在，或者说没用的，假如有三个点，有两个点都和另一点相连，这样也是需要两个基站，那连一条线，另一个点不连线，这样也是需要两个基站。

综合以上两种情况，这题也是符合最小路径覆盖的。

上边写的是错的。。

今天做POJ 2060 突然明白了这题不用Floyd的根本原因：建图时候把所有能连的点都连起来了，那就相当求了一遍Floyd~ 04/06/2014

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;const int MAX_N = 40 + 10;const int MAX_M = 10 + 5;const int MAX_K = MAX_N * MAX_M;bool _map[MAX_K][MAX_K], vis[MAX_K];int link[MAX_K], n, k, cnt, newG[MAX_N][MAX_M];char G[MAX_N][MAX_M];bool dfs(int u){    for(int i = 1; i <= cnt; i++)    {        if(!vis[i] && _map[u][i])        {            vis[i] = 1;            if(link[i] == -1 || dfs(link[i]))            {                link[i] = u;                return true;            }        }    }    return false;}int MaxMatch(){    int num = 0;    memset(link, -1, sizeof(link));    for(int i = 1; i <= cnt; i++)    {        memset(vis, 0, sizeof(vis));        if(dfs(i))            num++;    }    return num;}int main(){    int T;    scanf("%d", &T);    while(T--)    {        cnt = 0;        memset(_map, 0, sizeof(_map));        memset(newG, 0, sizeof(newG));        scanf("%d%d", &n, &k);        for(int i = 0; i < n; i++)            scanf("%s", G[i]);        for(int i = 0; i < n; i++)        {            for(int j = 0; j < k; j++)            {                if(G[i][j] == '*')                {                    cnt++;                    newG[i][j] = cnt;                }            }        }        for(int i = 0; i < n; i++)        {            for(int j = 0; j < k; j++)            {                if(newG[i][j] > 0)                {                    if(i != 0)                        if(newG[i - 1][j] > 0)                            _map[newG[i][j]][newG[i - 1][j]] = 1;                    if(i != n - 1)                        if(newG[i + 1][j] > 0)                            _map[newG[i][j]][newG[i + 1][j]] = 1;                    if(j != 0)                        if(newG[i][j - 1] > 0)                            _map[newG[i][j]][newG[i][j - 1]] = 1;                    if(j != k - 1)                        if(newG[i][j + 1] > 0)                            _map[newG[i][j]][newG[i][j + 1]] = 1;                }            }        }        printf("%d\n", cnt  - MaxMatch() / 2);    }    return 0;}