中国剩余定理，欧拉函数

来源：互联网发布：目前java主流开发框架编辑：程序博客网时间：2024/04/30 10:35

中国剩余定理：

x%3=2,x%5=3,x%7=2;问x最小是多少？

解法：

1.首先找到3，5，7，的三个“关键数字”，即[5,7]=35;[3,7]=21;[3,5]=15

2.让35a%3=1，a=2; 让21b%5=1,b=1; 让15c%7=1，c=1（我们这里要让余数为1，是为了要求余数2的话，只要乘以2就可以，要求余数为3的话，只要乘以3就可以了，……）

3.所以然后，35*2*2=140 21*1*3=63 15*1*2=30

4. Then 140+63+30=233 ,因为233>3*5*7 ，所以233- 105*2=23

欧拉函数：

欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n) 。

通式：φ(x)=x*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。

对于质数p，φ(p) = p - 1。注意φ(1)=1.

欧拉定理：对于互质的正整数a和n，有a^φ(n) ≡ 1 mod n。

欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)

欧拉函数还有这样的性质：

设a为N的质因数，若(N % a == 0 && (N / a) % a == 0) 则有E(N)=E(N / a) * a；若(N % a == 0 && (N / a) % a != 0) 则有：E(N) = E(N / a) * (a - 1)。

已知：

euler(p)=p-1,p为质数

证明欧拉函数的积性

$\varphi(n)=\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}$ 因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质

若

n = p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_r^{k_r}

则

\varphi(n) = \prod_{i=1}^r p_i^{k_i-1}(p_i-1) = \prod_{p\mid n} p^{\alpha_p-1}(p-1) = n\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right)

模版：

//求欧拉函数的模板：int euler(int n)//返回euler(n){     int i;     int res = n,a = n;     for(i = 2;i*i <= a; ++i)     {         if(a%i == 0)         {             res -= res/i; //p(n) = (p - p/p1)(1 - 1/p2)......             while(a%i == 0) a/=i;         }     }     if(a > 1) res -= res/a;//存在大于sqrt(a)的质因子     return res;}

欧拉函数，费马小定理：

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