复习数学之中国剩余定理和欧拉定理和扩展欧几里德

这几个玩意儿忘光了。。。

中国剩余定理

对于线性同余方程组：
x≡a1(modm1)
x≡a2(modm2)
x≡a3(modm3)
…
x≡an(modmn)
定义
M=∏ni=1m
Mi=M/mi
tiMi≡1(modmi) 即ti为Mi模mi意义下的逆元
那么就可以构造出原方程组的通解：
x=∑aitiMi+kM(k∈Z)
这个东西代进原方程组是很显然成立的，至于证明看起来很难咱懒得看就不说了

那这个东西到底有啥用呢？
在我们需要求大数取模，而所模的数不是一个质数的情况下就需要用到啦
这里答案等于把模数分解质因数成∏prii的形式然后对每个不同的质数都求模就行了，注意这里如果ri>1的话要用特殊的方法来处理

然后说说求逆，求逆可以通过欧拉定理和扩展欧几里德来求，因为欧拉定理比较简单粗暴所以先说欧拉定理

欧拉定理

aϕ(n)≡1(modn)其中a和n互质，然后就没了。。。

扩展欧几里德

先说一些性质：
贝祖定理：ax+by=c有解当且仅当gcd(a,b)|c
可以注意到：ax+by=1 （gcd(a,b)==1)好像没什么用。。。
然后就直接上exgcd模板！完美解决！
求出一组解x0,y0之后可以根据性质通过通解公式：
x=x0+bgcd(a,b)∗t,y=y0−agcd(a,b)∗t

求出其他符合条件的解

那么说完这两个东西再说说具体怎么求逆
ax≡1(modb)
x有解的前提是a,b互质

根据欧拉定理我们可以得到：
aϕ(n)=a∗aϕ(n)−1≡1(modb)
那么显然a的逆元就是aϕ(n)−1了

用扩展欧几里德的话由ax≡1(modb)就可以得到ax+by=1，很显然吧，那么直接套exgcd求出x就是逆元了