POJ 2417 Discrete Logging 离散对数

链接：http://poj.org/problem?id=2417

题意：

思路：求离散对数，Baby Step Giant Step算法基本应用。

以下转载自：AekdyCoin

【普通Baby Step Giant Step】

【问题模型】
求解
A^x = B (mod C) 中 0 <= x < C 的解,C 为素数

【思路】
我们可以做一个等价
x = i * m + j  ( 0 <= i < m, 0 <=j < m) m = Ceil ( sqrt( C) )
而这么分解的目的无非是为了转化为:
(A^i)^m * A^j = B ( mod C)

之后做少许暴力的工作就可以解决问题：
(1) for i = 0 -> m, 插入Hash (i, A^i mod C)
(2) 枚举 i ,对于每一个枚举到的i,令  AA = (A^m)^i mod C
我们有
AA * A^j = B (mod C)
显然AA,B,C均已知，而由于C为素数,那么(AA,C)无条件为1
于是对于这个模方程解的个数唯一(可以利用扩展欧几里得或 欧拉定理来求解)
那么对于得到的唯一解X,在Hash表中寻找,如果找到，则返回 i * m + j 
注意:由于i从小到大的枚举,而Hash表中存在的j必然是对于某个剩余系内的元素X 是最小的(就是指标)
所以显然此时就可以得到最小解

如果需要得到 x > 0的解，那么只需要在上面的步骤中判断 当 i * m + j > 0 的时候才返回

(转载结束)

本题只是最基础的应用，复杂度是

代码：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#include <map>#include <cstdlib>#include <queue>#include <stack>#include <vector>#include <ctype.h>#include <algorithm>#include <string>#include <set>#define PI acos(-1.0)#define maxn 10005#define INF 0x7fffffff#define eps 1e-8typedef long long LL;typedef unsigned long long ULL;using namespace std;LL pow_mod(LL aa,LL ii,LL nn){    if(ii==0)        return 1%nn;    LL temp=pow_mod(aa,ii>>1,nn);    temp=temp*temp%nn;    if(ii&1)        temp=temp*aa%nn;    return temp;}struct b_step{    int i,m;} bb[100005];bool cmp(b_step a,b_step b){    return a.m==b.m?a.i<b.i:a.m<b.m;}int BiSearch(int m,LL num){    int low=0,high=m,mid;    while(low<=high)    {        mid=(low+high)>>1;        if(bb[mid].m==num)            return bb[mid].i;        if(bb[mid].m<num)            low=mid+1;        else            high=mid-1;    }    return -1;}void giant_step_baby_step(LL b,LL n,LL p){    int m=(int)ceil(sqrt((double)p));    bb[0].i=0,bb[0].m=1;    for(int i=1; i<m; i++)    {        bb[i].i=i;        bb[i].m=bb[i-1].m*b%p;    }    sort(bb,bb+m,cmp);    int top=0;    for(int i=1; i<m; i++)        if(bb[i].m!=bb[top].m)            bb[++top]=bb[i];    LL bm=pow_mod(pow_mod(b,p-2,p),m,p);    LL ans=-1;    LL tmp=n;    for(int i=0; i<m; i++)    {        int pos=BiSearch(top,tmp);        if(~pos)        {            ans=m*i+pos;            break;        }        tmp=((LL)tmp*bm)%p;    }    if(!~ans)        puts("no solution");    else        printf("%d\n",ans);}int main(){    LL p,b,n;    while(~scanf("%lld%lld%lld",&p,&b,&n))    {        giant_step_baby_step(b,n,p);    }    return 0;}