矩阵的级联顺序与坐标系的关系

 1). 变换的时候，坐标系的选取是必需的

物体的方位都是相对的，选定参考坐标系才能描述方位。一般参考坐标系可以分为两种：1.全局/固定坐标系 2.局部坐标系/物体坐标系。故名思义，前者是固定不动的，后者是随物体方位变化而变化的。

举个例子：伸出左手，手掌水平，掌心向上，大拇指向左，其余四指向前。此时选定物体的局部坐标系（Cl(Ol,Xl,Yl,Zl)）为：掌心为原点(Ol)，X轴(Xl)指向四指指向，Z(Zl)轴指向大拇指指向，Y轴(Yl)指向掌心向上。全局坐标系（Cg(Og,Xg,Yg,Zg)）选定为和本地坐标系重合。那么，移动你的左手，局部坐标系就会随手而动。全局坐标系还是原先的方位。为什么选定坐标系对于变换重要？因为相对于哪种坐标系做变换得出的结果是不一定相同的。

还是上面那个例子：现在开始做变换，给你个指令：沿X轴旋转手掌90度使得掌心向右，然后手掌沿Y轴向+Y方向移动10厘米。

你做完后，得出的结果可能有3种：

1. 手的位置比原先高了10厘米，这部分人居多。

2. 手的位置比原先靠右10厘米，这部分人居少。

3. 还有部分数人傻在那，变换不来，这部分人其实不傻。

其实这个变换指令没有指定参考坐标系，是变换不出来的。1类的是自己选了全局坐标系，2类是选了局部坐标系，3类的没自己选。

所以，变换的时候，坐标系的选取是必需的。

 

2). 级联顺序与坐标系选取的关系

回到矩阵变换，一般我们说的对物体X进行M1变换，即X’= X*M1 (使用Column Matrix约定)，隐含了选取全局坐标系的约定。单一变换的没有级联顺序的问题。如果再进行一个M2变换，此时，X’= X*M1*M2 还是X’= X*M2*M1呢？我们可能都知道是X’= X*M1*M2。显然嘛，先做的变换先乘，但深层的原因是什么呢？答案是隐含的全局坐标系的选定，如果选定的是局部坐标系，那么X’= X*M2’*M1’。后面一个变换反而要先进行。不信，看例子：

还是手掌例子，先旋转后平移, 给你个指令：沿Xg轴旋转手掌90度使得掌心向右，然后手掌沿Yg轴向+Yg方向移动10厘米。

这下清楚不过了，完成后手掌比原先高了10厘米。此时变换公式：X’= X*R(Xg)*T(Yg)

现在，指令是参考局部坐标系，变换顺序是反向的，先平移后旋转：

手掌沿Yl轴向+Yl方向移动10厘米，然后沿Xl轴旋转手掌90度使得掌心向右。

看看完成后的结果，手是不是和上面的方位一样？此时变换公式：X’= X*T(Yl)*R(Xl)

 正序级联是相对于全局坐标系，逆序级联相对于局部坐标系，殊途同归。下次有变换矩阵需要级联的时候，先看看变换的矩阵是相对于全局还是局部的坐标系。

一般规律：假定对物体X施加M1变换和M2变换，两个变换矩阵均为相对于全局坐标系。有：

X’ = X*M1(g)*M2(g)

可以看作是将X先经过M1(g)变换，再进行M2(g)变换，得到X’

由矩阵的结合律，上面等式等价于:

X’ = X*M2(g)*(M2(g)-1*M1(g)*M2(g))     （M2(g)-1为M2(g)的逆矩阵）

所以，这个过程也可以这么看，先对X进行M2(g)(也即M2(l))变换（M2(g)为相对于全局坐标系，但此时全局和局部坐标系的重合，所以M2(g)=M2(l)），再对X进行M2(g)-1*M1(g)*M2(g)变换(也即M1(l)变换)，这个变换实际上相当于先将物体退回到原方位（此刻局部坐标系退回到原始方位，也就是全局坐标系方位）进行M1(g)变换后，再进行M2(g)变换回来。M2(g)-1*M1(g)*M2(g)整体的效果就是相对于此时的局部坐标系的进行M1(l)变换。故：

X’ = X*M2(l)*M1(l)

即，如果将变换认为是相对于局部坐标系而进行的，那么矩阵级联顺序正好相反。

（注：上面推导有个这样的前提：即初始变换时，选定局部坐标系和全局坐标系重合。如果局部坐标系是一般选取，即局部坐标系相对于全局坐标系的变换M(l/g) != Identity呢，答案是结论一样。因为M(l/g)可以认作是对于物体的变换。将X换成X(new)=X*M(l/g)而已。）

 

3). 如何选取，如何级联 

碰到的场景：

 l 人手的运动 

手有很多关节，每个关节的一端可以绕着关节处运动，关节本身也可以运动，要表达手指尖相对于人体的运动，使用相对于局部坐标系（关节）的变换比选取全局坐标系（人体）的变换要简单清晰得多。 

比如：一个从手臂下垂到做出向上抬手手的动作之间，现在用矩阵变换来表达手掌的变换(X->X’)。 

如果你选定局部坐标系（各个关节）做变换，那么其表达就是： 

上手臂绕肩关节旋转90度(M1(肩))，下手臂绕肘关节转45度(M2(肘))，手掌绕踝关节转30度(M3(踝)),那么： 

X’ = X*M3(踝)*M2(肘)*M1(肩)

（注意和X’ = X*M1(肩)*M2(肘)*M3(踝)的不同）

如果你选定全局坐标系（人体/肩关节）做变换，那么其表达就是： 

上手臂绕肩关节旋转90度(M1(肩))，下手臂绕肩关节(M2(肩)), 手掌绕肩关节(M3(肩))。。绕不过来了吧（M2(肩), M3(肩)很难表示出来） 

X’ = X*M1(肩)*M2(肩)*M3(肩) 

 

 

　　 l 矩阵分解与 级联顺序

　　|R 0|

　　|T 1|

　　= R*T (先进行旋转变换，后进行平移变换， 基于global坐标系)
　　= T*R (先进行平移变换，后进行旋转变换， 基于local坐标系)

　　= R*T' (先进行旋转变换，后进行平移变换， 基于local坐标系, T'= R-1*T*R)

　　= T*R' (先进行平移变换，后进行旋转变换， 基于global坐标系, R' = T-1*R*T)

 

 

 4). 结论

注意矩阵级联顺序和坐标系选取的关系。在整体/部分相对运动较多的地方，选取局部坐标系描述变换。

转自：http://www.cnblogs.com/soroman/archive/2009/05/15/1457863.html