数据结构——红黑树(RB-Tree)

定义：

    红黑树本质上是一棵二叉查找树，但在二叉查找树的基础上，每个节点增加了一位存储来表示节点的颜色。有关二叉查找树的介绍在前面博文《二叉查找树》已经介绍过了，这里不再进行讲解。

红黑树的性质：

1. 每个节点或是红色的，或是黑色的。
2. 根节点是黑色的。
3. 每个叶节点（NULL）是黑色的。
4. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子节点都是黑色的。
5. 对每个节点，从该节点到其所有后代叶节点的简单路径上，均包含相同数目的黑色节点。

红黑树的结构图：

旋转

    当对红黑树进行插入和删除操作时，会违背红黑树的性质，为了维护这些性质，必须要改变树中某些节点的颜色以及指针结构。指针结构的修改时通过旋转来完成的，这是一种能保持二叉查找树性质的查找树局部操作。

左旋转：

    当在某个节点x上做左旋转操作时，假设它的右孩子为y而不是NULL，左旋转以x到y的链为“支轴”进行。它使y成为该子树的新的根节点，x成为y的左孩子，y的左孩子成为x的右孩子。

LEFT_ROTATE(T,x)    y = right[x]   //获取右孩子    rihgt[x] = left[y]  //设置x的右孩子为y的左孩子    if left[y] != NIL       then parent[left[y]] = x    parent[y] = parent[x]  //设置y的父节点为x的父节点    if parent[x] == NIL       then root[T] = y    else if x==left[parent[x]            then left[parent[x]] = y         else  right[[parent[x]] = y    left[y] = x  //设置y的左孩子为x    parent[x] =y

右旋转：

右旋转与左旋转的描述差不多，具体见下面结构图

RIGHT_ROTATE(T,y)     x = left[y]    //获取左孩子     left[y] = right[x] //设置y的左孩子为x的右孩子     if right[x] != NIL        then parent[right[x]] = y     parent[x] = parent[y]  //设为x的父节点为y的父结点     if parent[y] == NIL         then root = x     else if y== left[parent[y]]             then left[parent[y]] = x          else  right[parent[y]] = x     right[x] = y //设置x的右孩子为y     parent[y] = x

插入操作：

    红黑树的插入操作类似于二叉查找树的插入操作，只是在它的基础上进行改进，先把节点按照二叉查找树的插入方法进行插入，再把该插入的节点标记为红色（为了满足性质5），为了保证插入节点后能够维持红黑树的性质，我们必须调用一个辅助程序RB_INSERT_FIXUP来对结点重新着色并旋转，使得满足红黑树的性质。

RB_INSERT(T,z)  y = NIL  x =root(T)  while x != NIL       do y=x           if key[z]<key[x]             then x=left[x]             else  x=right[x]  parent[z] = y  if y =NIL     then root =z     else if key[z] < key[y]            then left[y] =z            else  right[y] =z   left[z] = NIL   right[z] =NIL   color[z] = RED  //新插入结点标记为红色   RB_INSERT_FIXUP(T,z)  //进行调整，使得满足红黑树性质

    插入节点后，如果会破坏红黑树的性质时，只能破坏性质2或者性质4，其他性质不会被破坏。若破坏了性质2，则新插入的节点必定为根节点，此时只需修改该节点的颜色即可。

    因为在插入新结点z之前，红黑树的性质没有被破坏。若插入结点z后违反性质4，必定是因为z和其父亲结点parent[z]都是红色的。假设新插入结点z，导致红黑树性质4被破坏，此时z和其父节点parent[z]都是红色，由于在插入结点z之前红黑树的性质没有被破坏，parent[z]是红色，很容易推出z的祖父结点parent[parent[z]]必定是黑色。此时根据parent[z]是parent[parent[z]]的左孩子还是右孩子进行讨论。因为左右之间是对称的，这里只给出了parent[z]作为parent[parent[z]]的左孩子进行讨论的，然后给出了三种可能的情况。

情况1：z的叔叔节点y是红色的

     此时parent[z]和y都是红色的，解决办法是将z的父节点parent[z]和叔叔结点y都着为黑色，而将z的祖父结点parent[parent[z]]着为红色，然后从祖父结点parent[parent[z]]继续向上判断是否破坏红黑树的性质。

情况2：z的叔叔节点y是黑色且z是一个右孩子

情况3：z的叔叔节点y是黑色且z是一个左孩子

     情况2和情况3中y都是黑色的，通过z是parent[z]的左孩子还是右孩子进行区分的。情况2中z是右孩子，可以在parent[z]结点将情况2通过左旋转为情况3，使得z变为左孩子。无论是间接还是直接的通过情况2进入到情况3，z的叔叔y总是黑色的。在情况3中，将parent[z]着为黑色，parent[parent[z]]着为红色，然后从parent[parent[z]]处进行一次右旋转。情况2、3修正了对性质4的违反，修正过程不会导致其他的红黑性质被破坏。

RB_INSERT_FIXUP(T,z)  while color[parent[z]] = RED    do if parent[z] == left[parent[parent[z]]]          then y = right[parent[parent[z]]]//情况1，z的叔叔为红色              if color[y] == RED                     then color[parent[z]] = BLACK//case 1                      color[y] = BLACK//case 1                      color[parent[parent[z]]=RED //case 1                      z= parent[parent[z]]//case 1//情况2，z的叔叔为黑色，z为右孩子              else if z == right[parent[z]]    //case 2                      then z = parent[z]//case 2                           LEFT_ROTATE(T,z)//情况3，z的叔叔为黑色，z为左孩子                      color[parent[z]]=BLACK    //case 3                      color[parent[parent[z]] = RED//case 3                      RIGHT_ROTATE(T, parent[parent[z]])//case 3                  else (same as then clause with “right” and “left” exchanged)  color(root(T)) = BLACK; //将根结点设置为黑色

删除操作：

    红黑树的删除操作是在二叉查找树删除的基础上进行改进，主要是因为删除节点时可能会破坏红黑树的性质。如果被删除的节点y是红色的，则删除后不会破坏红黑树的性质，既不需要修改。原因如下：

1. 树中的黑高没有变化
2. 不存在两个相邻的红节点
3. 如果y是红色，就不可能是根节点，所以根节点仍然是黑色

  如果被删除的节点y是黑色，则会破坏红黑树的性质，具体破坏了哪些性质我们进行讨论：

1. 如果y是原来的根节点，而y的一个红色的孩子节点成为了新的根节点，这就违背了性质2。
2. 如果x和parent[y]（此时parent[x] = parent[y]）都是红色，就违反了性质4。
3. 删除y将会导致先前包含y的任何路径上黑结点个数减少1，违反了性质5。改正这一问题的方法是将现在占有y原来位置的节点x视为还有一重额外的黑色。即将任意包含结点x的路径上黑结点个数加1，这样可以保证性质5成立。
   
4. 当将黑色结点y被删除时，将其黑色“下推”至其子结点，导致问题变成为结点x可能即不是红，又不是黑，从而违反性质1。因为给x增加了一种颜色，即结点x是双重黑色或者是红黑色。这样就分别给包含x的路径上黑结点个数贡献2个或1个。但是x的color属性仍然是RED（如果x是红黑的）或BLACK（如果x是双重黑色）。换而言之，一个结点额外的黑色反映在x指向它，而不是它的color属性。

RB_TRANSPLANT(T,u,v)1if u.p == T.nil2T.root = v3elseif u == u.p.left4u.p.left = v5else u.p.right = v6v.p = u.p

RB_DELETE(T,z)1y = z2y_original.color = y.color3if z.left == T.nil4x = z.right5RB_TRANSPLANT(T,z,z.right)6else if z.right == T.nil7x - z.left8RB_TRANSPLANT(T,z,z.left)9else y = TREE_MINIMUN(z.right)10y_original.color = y.color11x = y.right12if y.p == z13x.p = y14else RB_TRANSPLANT(T,y,y.right)15y.right = z.right16y.right.p = y17RB_TRANSPLANT(T,z,y)18y.left = z.left19y.left.p = y20y.color = z.color21if y_original.color == BLACK22RB_DELETE_FIXUP(T,x)

或者

RB_DELETE(T,z)     if left[z] ==NIL or right[z] == NIL        then y=z        else  y=TREE_SUCCESSOR(z)    if left[y] != NIL        then x=left[y]        else  x=right[y]    parent[x] = parent[y]    if p[y] ==NIL       then root[T] =x       else if y = left[[prarnt[y]]                   then left[parent[y]] = x                   else  right[parent[y]] =x     if y!=z         then key[z] = key[y]               copy y's data into z     if color[y] == BLACK    //当被删除结点为黑色时候进行调整         then RB_DELETE_FIXUP(T,x)      return y

     过程RB_DELETE_FIXUP恢复性质1，2，4。对于恢复性质2、4很简单，因为x是红色，所有直接将x结点着为黑色即可。这里着重介绍了如何恢复性质1。此时x是黑色，需要根据x是左孩子还是右孩子两种情况进行恢复，因为左右是对称的，这里只给出了x是左孩子的恢复过程。将x作为第一个额外的黑色结点，从x结点开始循环，将额外的黑色结点沿着树向上移，直到：

1. x指向红黑节点，将x着为单黑色
2. x指向根节点，此时移除额外的黑色
3. 执行适当的旋转和重新着色，退出循环

    在循环过程中，x总是指向一个具有双重黑色的非根结点。设w是x的兄弟结点，因为x是双重黑色的，故w不可能是NIL。

RB_DELETE_FIXUP(T,x)1　while x!= root[T] and color[x] ==BLACK2     do if x == left[parent[x]]3           then w = right[parent[x]]4           if color[w] == RED 5               then color[w] = BLACK//case 1 6                   color[parent[x]] = RED//case 1 7                    LEFT_ROTATE(T,PARENT[x])//case 1 8                   w = right[parent[x]]//case 1 9            if color[left[w]] == BLACK and color[right[w]] = BLACK10               then color[w] = RED//case 211                    x = parent[x]//case 212            else if color[right[w]] =BLACK13               then color[left[w]] = BLACK//case 314                    color[w] = RED//case 315                    RIGHT_ROTATE(T,w)//case 316                    w = right[parent[x]]//case 317color[w] = color[parent[x]]//case 418                color[parent[x]] = BLACK//case 419                color[right[w]] = BLACK//case 420                LEFT_ROTATE(T,parent[x])//case 421                x=root(T)//case 422     else(same as then clasue with “right” and “left” exchanged)23  color[x]=BLACK

情况1：x的兄弟节点w是红色的。

    因为w必须有黑色子节点，所以改变w及parent[x]的颜色,并对parent[x]做一次左旋转。现在x的新兄弟节点是旋转之前w的某个子节点，其颜色为黑色。这样情况1转换为情况2、3或4处理。

4           if color[w] == RED 5               then color[w] = BLACK//case 1 6                   color[parent[x]] = RED//case 1 7                    LEFT_ROTATE(T,PARENT[x])//case 1 8                   w = right[parent[x]]//case 1 

情况2：x的兄弟节点w是黑色的，而且w的两个子节点都是黑色的。

    因为w是黑色的，所以从x和w上去掉一重黑色，使得x只有一重黑色，而w为红色，为了补偿从x和w上去掉的一重黑色，在原来是红色或黑色的parent[x]上新增一重额外的黑色，通过将parent[x]作为新节点x来重复while循环。

9            if color[left[w]] == BLACK and color[right[w]] = BLACK10               then color[w] = RED//case 211                    x = parent[x]//case 2

情况3：x的兄弟节点w是黑色的，w的左孩子节点是红色的，右孩子节点是黑色的。

    可以交换w和其左孩子left[w]的颜色，然后对w进行右旋转。现在x的新兄弟节点w是一个有着红色右孩子的黑色节点，这样将情况3转换为情况4。

12            else if color[right[w]] =BLACK13               then color[left[w]] = BLACK//case 314                    color[w] = RED//case 315                    RIGHT_ROTATE(T,w)//case 316                    w = right[parent[x]]//case 3

情况4：x的兄弟节点w是黑色的，且w的右孩子节点是红色的。

    将w颜色设置为parent[x]的颜色，parent[x]设置为黑色，w的右孩子right[w]设置为黑色，并对parent[x]做一次右旋转，最后把root设置为x。

17color[w] = color[parent[x]]//case 418                color[parent[x]] = BLACK//case 419                color[right[w]] = BLACK//case 420                LEFT_ROTATE(T,parent[x])//case 421                x=root(T)//case 4

参考：http://www.cnblogs.com/Anker/archive/2013/01/30/2882773.html

https://github.com/julycoding/The-Art-Of-Programming-By-July/blob/master/ebook/zh/03.01.md