筛选法求素数

筛选法求素数

质数（prime number）又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数（质数）整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数；否则称为合数。

一、一般求素数的方法：一个数n的因子不会超过n，但是如果我们知道数n的一个因子a后，另一个因子b（b=n/a）也就知道了，因此枚举一个数n的因子时只需枚举2到sqrt(n)即可。

代码如下：C/C++代码

#include <cstdio>#include <iostream>#include <cmath>using namespace std;typedef long long ll;//是素数返回truebool isPrime(ll n){    int i=2;    //1不是质数，但也不是合数    if(n==1)        return false;    while(i<=sqrt(n))        if(n%i++==0)            return false;    return true;}/*bool isPrime(ll n){    int i,j;    if(n<=3)        return n>1;    else if(n%2==0||n%3==0)        return false;    else    {        for(i=5;i*i<=n;i+=6)        {            if(n%i==0||n%(i+2)==0)                return false;        }        return true;    }}*/int main(){    ll n;    while(scanf("%I64d",&n))    {        if(isPrime(n))            printf("YES\n");        else            printf("NO\n");    }    return 0;}

这种方法只适用于n较小时，当n比较大时，太费时。

二、筛选法求素数：筛选素数的方法不是直接判断一个数是不是素数，而是将不是素数的数全部去除，剩余的数自然就是素数了。

一般步骤如下：

1.如果区间包含1，首先将1标记为非素数。

2.从下一个最小的素数a开始，将该素数的倍数（2a，3a，……，ka）全部标记为非素数。

3.从a的后面找下一个最小的素数，重复2操作。

4.重复2,3操作，直到所有元素都筛选完为止。

例如：筛选1到25之间的素数

①按部就班地按上面的4步做，

第一步，将1标记为非素数；

第二步，找下一个素数a=2，标记2的倍数4,6,8，……，22,24；

第三步，重复第二步，这时a=3，标记3的倍数6,9，……，21,24；

第四步，重复第二步第三步，a=5，a=7，a=11,a=13,a=17,a=19,a=23

步骤如下图所示：

相应的代码如下：C/C++代码

程序一：

#include <cstdio>#include <iostream>#include <cstring>using namespace std;typedef long long ll;#define MAX 8099999//用1标记非素数bool prime[MAX];//p数组储存素数，总数totint p[MAX],tot;void getPrime(int n){    int i,j;    memset(prime,0,sizeof(prime));    tot=0;    prime[1]=1;    for(i=2;i<=n;i++)    {        if(prime[i]==0)            p[tot++]=i;        for(j=2*i;j<=n;j+=i)            prime[j]=1;    }}int main(){    int i,n;    while(scanf("%d",&n))    {        getPrime(n);        for(i=0;i<tot;i++)            printf("%d ",p[i]);    }    return 0;}

程序二（可取）：

#include <cstdio>#include <iostream>#include <cstring>using namespace std;typedef long long ll;#define MAX 8099999int p[MAX],valid[MAX],tot;void getPrime(int n){    int i,j;    tot=0;    for(i=2;i<=n;i++)    {        if(!valid[i])            p[tot++]=i;        //枚举已经筛选出的素数取筛选        for(j=0;j<tot&&i*p[j]<=n;j++)        {            valid[i*p[j]]=1;            if(i%p[j]==0)//??                break;        }    }}int main(){    int i,n;    while(scanf("%d",&n))    {        getPrime(n);        //输出区间[1,n]之间的所有素数        for(i=0;i<tot;i++)            printf("%d ",p[i]);    }    return 0;}

②当我们再看看上面的步骤时，我们发现有些非素数不只标记一次，例如6这个数字，当a=2和a=3时都被标记了，那么如果我们只标记一次，就会节约一定的时间，这样我们就可以优化程序。同时我们还可以发现，当a=2时，我们只需从2 * 2 = 4开始标记2的倍数；当a=3时，上面是从6开始标记的，其实我们只需从3 * 3 = 9开始标记3的倍数即可（因为6已经在a=2时被标记）；当a=5时，上面是从10开始标记的，其实我们只需从5 * 5 = 25开始标记5的倍数即可（因为10、20已经在a=2时被标记，15已经在a=3时被标记）。

过程如下图所示：

根据刚刚的方法，程序一改进的代码如下：

#include <cstdio>#include <iostream>#include <cstring>using namespace std;typedef long long ll;#define MAX 8099999//用1标记非素数bool prime[MAX];//p数组储存素数，总数totint p[MAX],tot;void getPrime(int n){    int i,j;    memset(prime,0,sizeof(prime));    tot=0;    prime[1]=1;    for(i=2;i<=n;i++)    {        if(prime[i]==0)            p[tot++]=i;        for(j=i*i;j<=n;j+=i)            prime[j]=1;    }}int main(){    int i,n;    while(scanf("%d",&n))    {        getPrime(n);        //输出区间[1,n]之间的所有素数        for(i=0;i<tot;i++)            printf("%d ",p[i]);    }    return 0;}

核心代码如下：

#define MAX 8099999//用1标记非素数bool prime[MAX];//p数组储存素数，总数totint p[MAX],tot;void getPrime(int n){    int i,j;    memset(prime,0,sizeof(prime));    tot=0;    prime[1]=1;    for(i=2;i<=n;i++)    {        if(prime[i]==0)            p[tot++]=i;        for(j=i*i;j<=n;j+=i)            prime[j]=1;    }}

在筛选法求素数时，采用的是标记非素数，而标记非素数的方法是用该数的因子通过乘一个数得到该数，换句话说就是枚举了要判断的每一个数的所有因子，准确的说应该是每一个数的质因子，那么如果对程序做一些微小变化就可以在筛素数的同时求出[1,n]区间内每一个数的质因数个数。