S先生与P先生谜题及我的解

上星期六晚，帮我哥哥找逻辑题时，发现的这道题的。

这道题目来自美国斯坦福大学的麦卡锡教授----S先生与P先生谜题。

题目：S先生与P先生谜题

设有两个自然数X、Y，2<=X<=Y<=99,S先生知道这两个数的和S，P先生知道这两个数的积P，他们二人进行了如下对话：

S：我确信你不知道这两个数是什么，但我也不知道。

P: 一听你说这句话，我就知道这两个数是什么了。

S: 我也是，现在我也知道了。

现在你能通过他们的会话推断出这两个数是什么吗？（当然，S和P先生都是非常聪明的）

看到以后，立即就爱上它了，但直到今天才做出来，做出来以后，不是不汗颜的，因为里面涉及到的逻辑思考并不难。其实当天晚上把S的第一句话想明白了一半，到第二天下午的时候，彻底把S的第一句话和P的那句话想明白了，本来当时就应该做出来了，但我忽略了S的第二句话，于是通过这几天的思考，总觉得少了一个条件，但又不确定，在今天实在想不出的情况下，再读了一下题，发现自己少用了一个条件，于是带入S的第二句话，略加思考和验证就出来了。

下面说说我的思路（推论中小写的p表示素数，大写的P不是素数）。

1. 如果S是以下数的话，根据2≤X≤Y≤99，S先生可直接知道X和Y

• S = 4时，X = 2，Y = 2
• S = 5时，X = 2，Y = 3
• S = 197时，X = 98，Y = 99
• S = 198时，X = 99，Y = 99

由S先生的第一句话的后半部分知，S不可能是以上4个数中的任何一个数。

2. 如果X和Y均为素数的话，则P先生在得知P的情况下，可以轻松算出X和Y，如P = 481 = 13×37。所以由S先生的第一句话的前半部分得知，S不可能被表示为两个素数的和，即X和Y不可能都是素数。举个例子：如果S = 84的话，则可能有X = 5，Y = 79，则这时P可能是P = 5 × 79 = 395，P先生可以轻松得出X和Y。所以，如果S是84的话，S先生是不能肯定P先生不知道X和Y的，所以

S是不能被表示为两个素数的和的数         （a）

先别忙算，还可以缩小S的取值范围。

3. 如果X或Y中，仅有一个是素数，且该数大于50，则P先生还是能在仅知道P的情况下解出X和Y的。设P可以分解为以下几个素数的积：

P = p₀p₁p₂...p_n

其中p_n是大于50的素数，因为

p_n ＞ 50

故对任何素数p，均有

p_np＞ 100

故X和Y中必有一数等于p_n，而另一数等于p₀p₁p₂...p_n-1。大于50的最小素数为53，故如果

53 + 2 ≤S ≤ 53 + 99

即当

55 ≤S ≤ 152

时，S先生是不能肯定P先生不能算出X和Y的。小于99的最大素数为97，故当

97 + 2 ≤S ≤ 97 + 99

即当

99 ≤S ≤ 196

时，S先生也不能肯定P先生不能算出X和Y的。

故根据S先生的第一句话，S取值范围为：

6 ≤S ≤ 54                                 （b）

4．根据哥德巴赫猜想的验证，可以轻松确定，区间[6, 54]中的所有偶数均能被表示为两个素数的和（如果不怕麻烦，也可以自己验证一下嘛），故S是区间[7, 53]中的某个奇数。因为2是素数，故也有一些奇数也可以表示为两个素数的和，找出[3, 53]中的素数，与2相加，再进一步剔除区间[6, 54]中能被表示为两个素数之和的奇数：

        7 = 2 + 5

9 = 2 + 7

13 = 2 + 11

15 = 2 + 13

19 = 2 + 17

21 = 2 + 19

25 = 2 + 23

31 = 2 + 29;

33 = 2 + 31

39 = 2 + 37

43 = 2 + 41

45 = 2 + 43

49 = 2 + 47

故根据S先生的第一句话，可以确定S的值只可能是以下几个数之一：

11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53

设集合A={11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53}，则

S∈A                                     (c)

5．由P先生的那句话，得知P先生根据S先生的第一句话，得出了结论c，在已知P的情况下算出了X和Y。

设P的素数分解为：

        P = p₀p₁p₂... p_i...p_n    (n＞2)

则存在唯一的

X = p₀p₁p₂... p_i

Y = p_i+1...p_n

满足

X + Y = S∈A

将这个结论（条件）命为d，满足这个条件的P组成集合B。

举例说明，设P=130，对P进行素数分解有：

        P = 2×5×13

这时X和Y的解可能为(2,65)、(5,26)或(10,13)，但仅有(10,13)这组解满足：

        10+13=23∈A

于是当P=130时，根据结论c，P先生可解出X和Y。但当P=18,24,28,……时，P先生也可以求出X和Y来。

6．S先生根据P先生的那句话，也解出了X和Y来，也即是对于S先生所知的S根据条件d，解出了X和Y。即在S的和表达式

        S = X₀ + Y₀

S = X₁ + Y₁

S = X₂ + Y₂

……

S = X_n + Y_n

中仅有一组(X_i,Y_i)的积P满足条件d，即满足

        P = X_i×Y_i

        P ∈ B

这样S先生才能解出X和Y。

现对集合A中的元素逐一验证：

当S=11时，有

        S = 2 + 9，P = 2×9 = 18∈B

        S = 3 + 8，P = 3×8 = 24∈B

        S = 4 + 7，P = 4×7 = 28∈B

当S=17时，仅有

        S = 4 + 13，P = 4×13 = 52∈B

当S=23时，有

        S = 4 + 19，P = 4×19 = 76∈B

        S = 7 + 16，P = 7×16 = 112∈B

        S = 10 + 13，P = 10×13 = 130∈B

……

总之，只有当S=17时，才存在唯一的一组(4,13)满足

        S = 4 + 13 = 17∈A

        P = 4×13 = 52∈B

解得X=4，Y=13

我的这个验证过程是写程序来验证的。