ACM总结之精度

计算几何头疼的地方一般在于代码量大和精度问题，代码量问题只要平时注意积累模板一般就不成问题了。精度问题则不好说，有时候一个精度问题就可能成为一道题的瓶颈，简直“画龙点睛”。这些年的题目基本是朝着越来越不卡精度的方向发展了，但是也不乏一些%^&%题#$%$^，另外有些常识不管题目卡不卡，都是应该知道的。今天我就开膛回顾下见过且还有印象的精度问题，由于本人见识和记忆均有限，望各位大神瞄过后不吝补充。另外，为了弥补我匮乏的文思，我可能乱扯些不太相关或者尽人皆知的东西凑数。那么，现在开始。

 

计算几何的精度问题说到底其实是浮点数的精度问题，但我觉得“计算几何”比“浮点数”更能吸引眼球，所以选了这个标题。

 

1.浮点数为啥会有精度问题：

浮点数(以C/C++为准)，一般用的较多的是float, double。

 

占字节数

数值范围

十进制精度位数

float

4

-3.4e-38～3.4e38

6~7

double

8

-1.7e-308～1.7e308

14~15

如果内存不是很紧张或者精度要求不是很低，一般选用double。14位的精度(是有效数字位，不是小数点后的位数)通常够用了。注意，问题来了，数据精度位数达到了14位，但有些浮点运算的结果精度并达不到这么高，可能准确的结果只有10~12位左右。那低几位呢？自然就是不可预料的数字了。这给我们带来这样的问题：即使是理论上相同的值，由于是经过不同的运算过程得到的，他们在低几位有可能(一般来说都是)是不同的。这种现象看似没太大的影响，却会一种运算产生致命的影响: ==。恩，就是判断相等。注意，C/C++中浮点数的==需要完全一样才能返回true。来看下面这个例子:

#include<stdio.h>

#include<math.h>

int main()

{

   double a = asin(sqrt(2.0) / 2) * 4.0;

   double b = acos(-1.0);

   printf("      a = %.20lf\n", a);

   printf("      b = %.20lf\n", b);

   printf(" a - b = %.20lf\n", a - b);

   printf("a == b = %d\n", a == b);

   return 0;

}

输出：

      a = 3.14159265358979360000

      b = 3.14159265358979310000

 a - b = 0.00000000000000044409

a == b = 0

我们解决的办法是引进eps，来辅助判断浮点数的相等。

 

2. eps

       eps缩写自epsilon，表示一个小量，但这个小量又要确保远大于浮点运算结果的不确定量。eps最常见的取值是1e-8左右。引入eps后，我们判断两浮点数a、b相等的方式如下:

定义三出口函数如下: int sgn(double a){return a < -eps ? -1 : a < eps ? 0 : 1;}

则各种判断大小的运算都应做如下修正:（sgn(x),x>0,return 1;x=0,return 0;x<0,return -1）

传统意义

修正写法1

修正写法2

a == b

sgn(a - b) == 0

fabs(a – b) < eps

a != b

sgn(a - b) != 0

fabs(a – b) > eps

a < b

sgn(a - b) < 0

a – b < -eps

a <= b

sgn(a - b) <= 0

a – b < eps

a > b

sgn(a - b) > 0

a – b > eps

a >= b

sgn(a - b) >= 0

a – b > -eps

这样，我们才能把相差非常近的浮点数判为相等;同时把确实相差较大(差值大于eps)的数判为不相等。

PS: 养成好习惯，尽量不要再对浮点数做==判断。例如，我的修正写法2里就没有出现==。

 

3. eps带来的函数越界

如果sqrt(a), asin(a), acos(a) 中的a是你自己算出来并传进来的，那就得小心了。

如果a本来应该是0的，由于浮点误差，可能实际是一个绝对值很小的负数(比如1e-12),这样sqrt(a)应得0的，直接因a不在定义域而出错。

类似地，如果a本来应该是±1,则asin(a)、acos(a)也有可能出错。

因此，对于此种函数，必需事先对a进行校正。

 

4. 输出陷阱I

这一节和下一节一样，都是因为题目要求输出浮点数，导致的问题。而且都和四舍五入有关。

说到四舍五入，就再扯一下相关内容,据我所知有三种常见的方法:

1. printf(“%.3lf”, a);  //保留a的三位小数，按照第四位四舍五入

2. (int)a;  //将a靠进0取整

3. ceil(a); floor(a);   //顾名思义，向上取证、向下取整。需要注意的是，这两个函数都返回double，而非int

其中第一种很常见于输出(nonsense…)。

现在考虑一种情况,题目要求输出保留两位小数。有个case的正确答案的精确值是0.005,按理应该输出0.01,但你的结果可能是0.005000000001(恭喜)，也有可能是0.004999999999(悲剧),如果按照printf(“%.2lf”, a)输出，那你的遭遇将和括号里的字相同。

解决办法是，如果a为正，则输出a+eps, 否则输出a-eps

典型案例: POJ2826

 

5. 输出陷阱II

ICPC题目输出有个不成文的规定(有时也成文)，不要输出: -0.000

那我们首先要弄清，什么时候按printf(“%.3lf\n”, a)输出会出现这个结果。

直接给出结果好了：a∈(-0.000499999……, -0.000……1)

所以，如果你发现a落在这个范围内，请直接输出0.000。更保险的做法是用sprintf直接判断输出结果是不是-0.000再予处理。

典型案例:UVA746

 

6. 范围越界

这个严格来说不属于精度范畴了，不过凑数还是可以的。请注意，虽然double可以表示的数的范围很大，却不是不穷大，上面说过最大是1e308。所以有些时候你得小心了，比如做连乘的时候，必要的时候要换成对数的和。

典型案例:HDU3558

 

7. 关于set<T>

有时候我们可能会有这种需求，对浮点数进行 插入、查询是否插入过 的操作。手写hash表是一个方法(hash函数一样要小心设计)，但set不是更方便吗。但set好像是按==来判重的呀？貌似行不通呢。经观察,set不是通过==来判断相等的，是通过<来进行的，具体说来，只要a<b 和 b<a 都不成立，就认为a和b相等，可以发现，

如果将小于定义成:      bool operator < (const Dat dat)const{return val < dat.val - eps;}就可以解决问题了。 (基本类型不能重载运算符，所以封装了下)

 

8. 输入值波动过大

这种情况不常见，不过可以帮助你更熟悉eps。假如一道题输入说，给一个浮点数a, 1e-20 < a < 1e20。那你还敢用1e-8做eps么？合理的做法是把eps按照输入规模缩放到合适大小。

典型案例: HUSTOJ 1361

 

9. 一些建议

容易产生较大浮点误差的函数有asin、 acos。欢迎尽量使用atan2。

另外，如果数据明确说明是整数，而且范围不大的话，使用int或者long long代替double都是极佳选择，因为就不存在浮点误差了(尽管我几乎从来都只用double --!)

C语言和C#语言中，对于浮点类型的数据采用单精度类型（float）和双精度类型(double)来存储，float数据占用32bit, double数据占用64bit,我们在声明一个变量float f= 2.25f的时候，是如何分配内存的呢？如果胡乱分配，那世界岂不是乱套了么，其实不论是float还是double在存储方式上都是遵从IEEE的规范 的，float遵从的是IEEE R32.24 ,而double 遵从的是R64.53。

    无论是单精度还是双精度在存储中都分为三个部分：

1. 符号位(Sign) : 0代表正，1代表为负
2. 指数位（Exponent）:用于存储科学计数法中的指数数据，并且采用移位存储
3. 尾数部分（Mantissa）：尾数部分

 其中float的存储方式如下图所示：

而双精度的存储方式为:

 

    R32.24和R64.53的存储方式都是用科学计数法来存储数据的，比如8.25用十进制的科学计数法表示就为:8.25*,而120.5可以表示为:1.205*, 这些小学的知识就不用多说了吧。而我们傻蛋计算机根本不认识十进制的数据，他只认识0，1，所以在计算机存储中，首先要将上面的数更改为二进制的科学计数 法表示，8.25用二进制表示可表示为1000.01,我靠，不会连这都不会转换吧?那我估计要没辙了。120.5用二进制表示为：1110110.1用 二进制的科学计数法表示1000.01可以表示为1.0001*,1110110.1可以表示为1.1101101*,任何一个数都的科学计数法表示都为1.xxx*, 尾数部分就可以表示为xxxx,第一位都是1嘛，干嘛还要表示呀？可以将小数点前面的1省略，所以23bit的尾数部分，可以表示的精度却变成了 24bit，道理就是在这里，那24bit能精确到小数点后几位呢，我们知道9的二进制表示为1001，所以4bit能精确十进制中的1位小数点， 24bit就能使float能精确到小数点后6位，而对于指数部分，因为指数可正可负，8位的指数位能表示的指数范围就应该为:-127-128了，所以 指数部分的存储采用移位存储，存储的数据为元数据+127，下面就看看8.25和120.5在内存中真正的存储方式。

     首先看下8.25，用二进制的科学计数法表示为:1.0001*

按照上面的存储方式，符号位为:0，表示为正，指数位为:3+127=130 ,位数部分为,故8.25的存储方式如下图所示:

而单精度浮点数120.5的存储方式如下图所示:

那么如果给出内存中一段数据，并且告诉你是单精度存储的话，你如何知道该数据的十进制数值呢？其实就是对上面的反推过程，比如给出如下内存 数据：0100001011101101000000000000，首先我们现将该数据分段，0 10000 0101 110 1101 0000 0000 0000 0000，在内存中的存储就为下图所示：

根据我们的计算方式，可以计算出，这样一组数据表示为:1.1101101*=120.5

而双精度浮点数的存储和单精度的存储大同小异，不同的是指数部分和尾数部分的位数。所以这里不再详细的介绍双精度的存储方式了，只将120.5的最后存储方式图给出，大家可以仔细想想为何是这样子的

下面我就这个基础知识点来解决一个我们的一个疑惑，请看下面一段程序，注意观察输出结果

            float f = 2.2f;
            double d = (double)f;
            Console.WriteLine(d.ToString("0.0000000000000"));
            f = 2.25f;
            d = (double)f;
            Console.WriteLine(d.ToString("0.0000000000000"));

可能输出的结果让大家疑惑不解，单精度的2.2转换为双精度后，精确到小数点后13位后变为了2.2000000476837，而单精度的 2.25转换为双精度后，变为了2.2500000000000，为何2.2在转换后的数值更改了而2.25却没有更改呢？很奇怪吧？其实通过上面关于两 种存储结果的介绍，我们已经大概能找到答案。首先我们看看2.25的单精度存储方式，很简单 0 1000 0001 001 0000 0000 0000 0000 0000,而2.25的双精度表示为:0 100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000,这样2.25在进行强制转换的时候，数值是不会变的，而我们再看看2.2呢，2.2用科学计数法表示应该为：将十进制的小数转换为二进制的小数 的方法为将小数*2，取整数部分，所以0.282=0.4，所以二进制小数第一位为0.4的整数部分0，0.4×2=0.8，第二位为0,0.8*2= 1.6,第三位为1，0.6×2 = 1.2，第四位为1，0.2*2=0.4，第五位为0，这样永远也不可能乘到=1.0，得到的二进制是一个无限循环的排列 00110011001100110011... ,对于单精度数据来说，尾数只能表示24bit的精度，所以2.2的float存储为:

但是这样存储方式，换算成十进制的值，却不会是2.2的，应为十进制在转换为二进制的时候可能会不准确，如2.2，而double类型的数 据也存在同样的问题，所以在浮点数表示中会产生些许的误差，在单精度转换为双精度的时候，也会存在误差的问题，对于能够用二进制表示的十进制数据，如 2.25，这个误差就会不存在，所以会出现上面比较奇怪的输出结果。