##剑指offer 5.2 时间效率3 -1到N整数中1出现的次数
来源:互联网 发布:长沙网络外包公司 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 11:04
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面试题32:从1到N整数中1出现的次数。
题目:输入一个整数n,求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。
例如输入12,从1到12这些整数中包含1 的数字有1,10,11和12,1一共出现了5次。
分析:google面试题。
解法一:最直观的方法,分别求得1到n中每个整数中1出现的次数。而求一个整数的十进制表示中1出现的次数,就和【求二进制表示中1的个数】很相像了。相当于求十进制数中1的个数,每次判断整数的个位数字是不是1。如果这个数字大于10,除以10之后再判断个位数字是不是1。基于这个思路,不难写出如下的代码:c
int NumberOf1(unsigned int n);/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Find the number of 1 in the integers between 1 and n// Input: n - an integer// Output: the number of 1 in the integers between 1 and n/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////int NumberOf1BeforeBetween1AndN_Solution1(unsigned int n){ int number = 0; // Find the number of 1 in each integer between 1 and n for(unsigned int i = 1; i <= n; ++ i) number += NumberOf1(i); return number;}/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Find the number of 1 in an integer with radix 10// Input: n - an integer// Output: the number of 1 in n with radix/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////int NumberOf1(unsigned int n){ int number = 0; while(n) { if(n % 10 == 1) number ++; n = n / 10; } return number;}
这个思路有一个非常明显的缺点就是每个数字都要计算1在该数字中出现的次数,因此时间复杂度是O(n)。当输入的n非常大的时候,需要大量的计算,运算效率很低。我们试着找出一些规律,来避免不必要的计算。
方法二:我们用一个稍微大一点的数字21345作为例子来分析。
我们把从1到21345的所有数字分成两段,即1-1345和1346-21345。
先来看1346-21345中1出现的次数。1的出现分为两种情况:一种情况是1出现在最高位(万位)。从1到21345的数字中,1出现在10000-19999这10000个数字的万位中,一共出现了10000(104)次;另外一种情况是1出现在除了最高位之外的其他位中。例子中1346-21345,这20000个数字中后面四位中1出现的次数是2000次(2*103,其中2是第一位的数值,103是因为数字的后四位数字其中一位为1,其余的三位数字可以在0到9这10个数字任意选择,由排列组合可以得出总次数是2*103)。(这一段分析有点小问题,这20000个数字中后面四位中1出现的次数应该是8000次,2*4*10^3,其中2是第一位的数值,4是后面四位的位数长度,10^3是因为数字的后四位数字 其中一位为1,其余的三位数字可以在0到9这10个数字任意选择,由排列组合可以得出总次数是2*4*10^3,下面的代码实现,原作者写的是正确的)
至于从1到1345的所有数字中1出现的次数,我们就可以用递归地求得了。这也是我们为什么要把1-21345分为1-1345和1346-21345两段的原因。因为把21345的最高位去掉就得到1345,便于我们采用递归的思路。
分析到这里还有一种特殊情况需要注意:前面我们举例子是最高位是一个比1大的数字,此时最高位1出现的次数104(对五位数而言)。但如果最高位是1呢?比如输入12345,从10000到12345这些数字中,1在万位出现的次数就不是104次,而是2346次了,也就是除去最高位数字之后剩下的数字再加上1。
int NumberOf1(const char* strN);int PowerBase10(unsigned int n);/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Find the number of 1 in an integer with radix 10// Input: n - an integer// Output: the number of 1 in n with radix/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////int NumberOf1BeforeBetween1AndN_Solution2(int n){ if(n <= 0) return 0; // convert the integer into a string char strN[50]; sprintf(strN, "%d", n); return NumberOf1(strN);}/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Find the number of 1 in an integer with radix 10// Input: strN - a string, which represents an integer// Output: the number of 1 in n with radix/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////int NumberOf1(const char* strN){ if(!strN || *strN < '0' || *strN > '9' || *strN == '\0') return 0; int firstDigit = *strN - '0'; unsigned int length = static_cast<unsigned int>(strlen(strN)); // the integer contains only one digit if(length == 1 && firstDigit == 0) return 0; if(length == 1 && firstDigit > 0) return 1; // suppose the integer is 21345 // numFirstDigit is the number of 1 of 10000-19999 due to the first digit int numFirstDigit = 0; // numOtherDigits is the number of 1 01346-21345 due to all digits // except the first one int numOtherDigits = firstDigit * (length - 1) * PowerBase10(length - 2); // numRecursive is the number of 1 of integer 1345 int numRecursive = NumberOf1(strN + 1); // if the first digit is greater than 1, suppose in integer 21345 // number of 1 due to the first digit is 10^4. It's 10000-19999 if(firstDigit > 1) numFirstDigit = PowerBase10(length - 1); // if the first digit equals to 1, suppose in integer 12345 // number of 1 due to the first digit is 2346. It's 10000-12345 else if(firstDigit == 1) numFirstDigit = atoi(strN + 1) + 1; return numFirstDigit + numOtherDigits + numRecursive;}/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Calculate 10^n/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////int PowerBase10(unsigned int n){ int result = 1; for(unsigned int i = 0; i < n; ++ i) result *= 10; return result;}
这种思路是每次去掉最高位做递归,递归的次数和位数相同。
一个数字N有O(logN)位,因此这种思路的时间复杂度是O(logN)
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