最长回文子串

首先讲讲什么是回文, 看看Wiki是怎么说的：回文，亦称回环，是正读反读都能读通的句子，亦有将文字排列成圆圈者，是一种修辞方式和文字游戏。回环运用得当，可以表现两种事物或现象相互依靠或排斥的关系， 比如madam，abba，这样正反都一样的串就是回文串。

今天要写的问题了就是在一个字符串中找出最长的回文字串，比如串："abcdedabakml"， 他的最长回文字串就是"abcdedaba"。一般的方法有暴力法，动态规划法，今天来写一个时间复杂度为O(n)的算法。

回文匹配，一般情况会分奇数和偶数来分开进行设计算法来统计，今天介绍的算法重新构造了一个字符串，这个新字符串消除了之前的奇偶差别，使得只用设计一种算法就可以。
     1. 首先，构造新的字符串T
          构造方法：在原字符串S的首尾和每个字符之间加入一个特殊字符'#', 例如S: abba， 则构造后为T: #a#b#b#a#(注：在程序中为防止越界会在首尾再加两个字符，即^#a#b#b#a#$);
     2. 关键算法：
          a[ ]: a[i]代表以位置 i 为中心向左向右可扩展的长度
          idx: 当前取得最大回文的中心位置
          R： 以 idx 为中心，向右扩展 p[idx] 位的最右位置
          j:  与 i 关于 idx 对称的位置
         
           i:   0  1 2 3 4 5 6 7 8 9
          T:  ^ # a # b # b # a # $
          a:     0 1 0 1  4 1 0 1 0
                             idx        R

          此算法的关键之处在于: 当 i<R时，a[i] 有如下简便计算公式 a[i] = min(R-i, a[j]):
              A. 当 R - i > a[j] 的时候，以T[j]为中心的回文子串包含在以T[mid]为中心的回文子串中，由于 i 和 j 对称，以T[i]为中心的回文子串必然包含在以T[mid]为中心的回文子串中，所以必有 a[i] = a[j], 如下图：此时a[i] = a[j] = 1;
             
           B. 当 R - i < a[j] 的时候，以T[j]为中心的回文子串不一定完全包含于以T[mid]为中心的回文子串中，但是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到 R 的位置，也就是说 a[i] >= R-i。至于R之后的部分是否对称，就只能老老实实去匹配了。
          
     3. 得到所求字符串
          找出 p[ ] 数组中最大的值及其下标，记为max和index。
          所求字符串为string(s, (index-1-max)/2, max)

     4. 实现算法：

          // Transform S into T.          // For example, S = "abba", T = "^#a#b#b#a#$".          // ^ and $ signs are sentinels appended to each end to avoid bounds checking          string preProcess(string s) {               int n = s.length();               if (n == 0) return "^$";               string ret = "^";               for (int i = 0; i < n; i++)                   ret += "#" + s.substr(i, 1);               ret += "#$";               return ret;          }          string longestPalindrome(string s) {               string T = preProcess(s);               int n = T.length();               int *a = new int[n];               int mid = 0, R = 0;               for (int i = 1; i < n-1; i++) {                    int j = 2*mid-i; // 找到i关于mid对称的位置                        a[i] = (R > i) ? min(R-i, a[j]) : 0;                    // Attempt to expand palindrome centered at i                    while (T[i + 1 + a[i]] == T[i - 1 - a[i]])                           a[i]++;                    // If palindrome centered at i expand past R,                    // adjust center based on expanded palindrome.                    if (i + a[i] > R) {                          mid = i;                          R = i + a[i];                    }               }               // Find the maximum element in a.               int maxLen = 0;               int centerIndex = 0;               for (int i = 1; i < n-1; i++) {                    if (a[i] > maxLen) {                         maxLen = a[i];                         centerIndex = i;                     }               }               delete[] a;                 return s.substr((centerIndex - 1 - maxLen)/2, maxLen);          }