最大流 算法摘记

源自网络与书籍   自己学习 算法摘记

一，概念

1）流网络：简单有向图，且有两个特别的顶点（源点s，汇点t）

2）流的边标识为f(u,v)/c(u,v)，流量/容量

3）流的三个性质：

对于所有边 流量<容量

反对称性 f(u,v)=-f(v,u)

流守恒性 正向流与反响流之和为零

4）割：流网络G=(V,E)的割（S,T）将顶点V划分为S和T=V-S两部分，

定义割的容量为C(S)割这条线上S中顶点到T中顶点的容量之和

5）残留网络：残留容量 c f (u, v) = c(u, v) - f (u, v)//边的容量减去边的实际流量

6）增广路径：对于残留网络 G f 中的一条 s-t 路径 p 称其为增广路径

二，最大流和最小割问题

1）最大流：对于一个流网络 G  (V , E ) ,其流量 f 的最大值称为最大流,最大流问题就
是求一个流网络的最大流。

2）最小割：是指流网络中容量最小的割

如图-1所示，在这个运输网络中，源点S和汇点T分别是1,7，

各边的容量为C(u,v)。图中红色虚线所示就是一个可行流。

其中p(u,v) / c(u,v)分别表示该边的实际流量与最大容量。

所以，最大流就是对于任意的u∈V-{s},使得p(s,u)的和达到最大。

残余网络，增广路径，反向弧，最大流定理以及求最大流的Ford-Fulkerson方法。

观察下图-4，这种状态下它的残余网络如图-5所示：

对于已经找到一条从S 到T的路径的网络中，只要在这条路径上，把C(u,v)的值更新为C(u,v)-P(u,v)，

并且添加反向弧C(v,u)。对应的增广路径Path为残留网络上从S到T的一条简单路径。

图-4中1，2，4，7就是一条增广路径，当然还有1，3，4，7。

最大流定理：增广路径与最大流等价
  如果残留网络上找不到增广路径，则当前流为最大流；反之，如果当前流不为最大流，则一定有增广路径。

来个例子吧：

三个核心：残留网络、增广路径和流网络的割；

所测试的网络结构图如图所示：

第1次遍历在残留网络中找到S->V2->V1->V3->T这条增广路径(下图A)，

找到最小的4：

这时的网络流量如图B

执行第2次遍历的时候在残留网络中找到S->V2->V4->T这条增广路径(下图A)，

找到最小的4;

这时的网络流量如图B

执行第3次遍历的时候在残留网络中找到S->V2->V4->V3->T这条增广路径(下图A)，

找到最小的5；

这时的网络流量如图B

执行第4次遍历的时候在残留网络中找到S->V1->V2->V4->V3->T这条增广路径(下图A)，

找到最小的2；

这时的网络流量如图B

执行第5次遍历的时候在残留网络中找到S->V1->V3->T这条增广路径(下图A)，

找到最小的8；

这时的网络流量如图B

执行第6次遍历的时候在残留网络中再找不到增广路径，

箭头向右的连贯的路径没有；

此时找到网络最大流为23（第一个出去的）

Ford-Fulkerson方法
      每次找增广路，把这条路上的所有点的流量加上这条路上的残余容量，再找新的增广路，直到找不到为止，它有很多种实现方法，下面给出算法导论上的伪代码

Ford_Fulkerson( G, s, t ){
    for each edge( u, v )∈E[G]
        do    f[u,v]= 0
            f[v,u]= 0
    while there exists a path p from s to t in the residual network Gf
        do    Cf(p)= min{ Cf(u,v) | (u,v) is in p }
        for each edge(u,v) in p
            do    f[u,v]+= Cf(p)
                f[v,u]= -f[u,v]

Edmonds-Karp算法
      就是用广度优先搜索来实现Ford-Fulkerson方法中对增广路径的计算，时间复杂度为O(VE²)
      (代码参考NOCOW)

#define VMAX 201
int n, m;        //分别表示图的边数和顶点数
int c[VMAX][VMAX];
int Edmonds_Karp( int s, int t ){    //输入源点和汇点
    int p, q, queue[VMAX], u, v, pre[VMAX], flow= 0, aug;
    while(true){
        memset(pre,-1,sizeof(pre));        //记录父节点
        for( queue[p=q=0]=s; p<=q; p++ ){    //广度优先搜索
            u= queue[p];
            for( v=0; v<m&&pre[t]<0; v++ )
                if( c[u][v]>0 && pre[v]<0 )
                    pre[v]=u, queue[++q]=v;
            if( pre[t]>=0 )    break;
        }
        if( pre[t]<0 )    break;        //不存在增广路
        aug= 0x7fff;    //记录最小残留容量
        for( u=pre[v=t]; v!=s; v=u,u=pre[u] )
            if(c[u][v]<aug)    aug=c[u][v];
        for( u=pre[v=t]; v!=s; v=u,u=pre[u] )
            c[u][v]-=aug, c[v][u]+=aug;
        flow+= aug;
    }
    return flow;
}

来个题目吧：

HDU 1532  Drainage Ditches;

http://blog.csdn.net/u012605629/article/details/38685001