高斯消元法 算法摘记

HDU 3571 高斯消元法
高斯消元法，可用来求解线性方程组，并可以求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。

高斯消元法的原理是：
若用初等行变换将增广矩阵 ，则AX = B与CX = D是同解方程组。
所以我们可以用初等行变换把增广矩阵转换为行阶梯阵，然后回代求出方程的解。

首先，先介绍程序中高斯消元法的步骤：
(我们设方程组中方程的个数为equ，变元的个数为var，注意：一般情况下是n个方程，n个变元)
1. 把方程组转换成增广矩阵。
2. 利用初等行变换来把增广矩阵转换成行阶梯阵。
枚举k从0到equ-1，当前处理的列为col(初始为0) ，每次找第k行以下(包括第k行)，
col列中元素绝对值最大的列与第k行交换。如果col列中的元素全为0，
那么则处理col+1列，k不变。
3. 转换为行阶梯阵，判断解的情况。
① 无解
当方程中出现(0, 0, …, 0, a)的形式，且a != 0时，说明是无解的。
② 唯一解
条件是k=equ，即行阶梯阵形成了严格的上三角阵。利用回代逐一求出解集。
③ 无穷解。
条件是k<equ，即不能形成严格的上三角形，自由变元的个数即为equ–k，
但有些题目要求判断哪些变元是不缺定的。
   这里单独介绍下这种解法：
首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var-k个。
我们先把所有的变元视为不确定的。在每个方程中判断不确定变元的个数，
如果大于1个，则该方程无法求解。如果只有1个变元，那么该变元即可求出，即为确定变元。


以上介绍的是求解整数线性方程组的求法，复杂度是O(n3)。浮点数线性方程组的求法类似，

但是要在判断是否为0时，加入EPS，以消除精度问题。 

这里提供下自己写的还算满意的求解整数线性方程组的模板(浮点数类似，就不提供了)～～/* 用于求整数解得方程组. */#include <iostream>#include <string>#include <cmath>using namespace std;const int maxn = 105;int equ, var; // 有equ个方程，var个变元。增广阵行数为equ, 分别为0到equ - 1，列数为var + 1，分别为0到var.int a[maxn][maxn];int x[maxn]; // 解集.bool free_x[maxn]; // 判断是否是不确定的变元.int free_num;void Debug(void){    int i, j;    for (i = 0; i < equ; i++)    {        for (j = 0; j < var + 1; j++)        {            cout << a[i][j] << " ";        }        cout << endl;    }    cout << endl;}inline int gcd(int a, int b){    int t;    while (b != 0)    {        t = b;        b = a % b;        a = t;    }    return a;}inline int lcm(int a, int b){    return a * b / gcd(a, b);}// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)int Gauss(void){    int i, j, k;    int max_r; // 当前这列绝对值最大的行.int col; // 当前处理的列.    int ta, tb;    int LCM;    int temp;    int free_x_num;    int free_index;    // 转换为阶梯阵.    col = 0; // 当前处理的列.    for (k = 0; k < equ && col < var; k++, col++)    { // 枚举当前处理的行.        // 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)        max_r = k;        for (i = k + 1; i < equ; i++)        {            if (abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col])) max_r = i;        }        if (max_r != k)        { // 与第k行交换.            for (j = k; j < var + 1; j++) swap(a[k][j], a[max_r][j]);        }        if (a[k][col] == 0)        { // 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.            k--; continue;        }        for (i = k + 1; i < equ; i++)        { // 枚举要删去的行.            if (a[i][col] != 0)    {                LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col]));                ta = LCM / abs(a[i][col]), tb = LCM / abs(a[k][col]);                if (a[i][col] * a[k][col] < 0) tb = -tb; // 异号的情况是两个数相加.                for (j = col; j < var + 1; j++)                {                    a[i][j] = a[i][j] * ta - a[k][j] * tb;                }    }        }    }    Debug();    // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).    for (i = k; i < equ; i++)    { // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.        if (a[i][col] != 0) return -1;    }    // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.    // 且出现的行数即为自由变元的个数.    if (k < var)    {        // 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.        for (i = k - 1; i >= 0; i--)        {            // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.            // 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.            free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.            for (j = 0; j < var; j++)            {                if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;            }            if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.            // 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.            temp = a[i][var];            for (j = 0; j < var; j++)            {                if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];            }            x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元.            free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的.        }        return var - k; // 自由变元有var - k个.    }    // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.    // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.    for (i = var - 1; i >= 0; i--)    {        temp = a[i][var];        for (j = i + 1; j < var; j++)        {            if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];        }        if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.        x[i] = temp / a[i][i];    }return 0;}int main(void){    freopen("Input.txt", "r", stdin);    int i, j;    while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF)    {        memset(a, 0, sizeof(a));   memset(x, 0, sizeof(x));   memset(free_x, 1, sizeof(free_x)); // 一开始全是不确定的变元.        for (i = 0; i < equ; i++)        {            for (j = 0; j < var + 1; j++)            {                scanf("%d", &a[i][j]);            }        }//        Debug();        free_num = Gauss();        if (free_num == -1) printf("无解!\n");   else if (free_num == -2) printf("有浮点数解，无整数解!\n");        else if (free_num > 0)        {            printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n", free_num);            for (i = 0; i < var; i++)            {                if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的\n", i + 1);                else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);            }        }        else        {            for (i = 0; i < var; i++)            {                printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);            }        }        printf("\n");    }    return 0;}

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