python最小公倍数与最大公约

遍历法

m=int(raw_input('please input a integer m'))n=int(raw_input('please input a integer n'))import sys, osfrom time import clockstart = clock()if m<n:    m,n = n,mq = 1max = 1tiple = m*nfor i in range(2,n+1):    if(n%i == 0 and m%i == 0):         max = iprint 'The max common divisor is %s'%maxprint 'The min common multiple is %s'%(tiple/max)

print "End At: " + str((clock()-start)*1000)

通过遍历最小值n来计算出最大公约数max  

而最小公倍数为 (m/max)  *( n/max) *max =m*n/max

辗转相除法

如果数过大，则计算时间又太长，欧几里得提出的辗转相除法则可以大幅度降低运算时间。

即两个数的最大公约数，为两数中最小数和两数相除所得余数的最大公约数。

m= p1*n+q1

n=p2*q1+p2

...

当pn为0时得到最大公约数

上文的循环可改为

while q!=0:     q = m % n     m = n    n = q<span style="white-space:pre"></span>   max = m

m就是最大公约数

更相减损法

更相减损法：也叫更相减损术，是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。

《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”
翻译成现代语言如下：
第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。

即  q1=m-n

      q2=n-q1

      ...

while q!=0:     if m < n:m,n = n,m    q = m - n     m = n    n = q<span style="white-space:pre"></span>  max = m<span style="white-space:pre"></span>

m为最大公约数

算法效率

若计算17 234 500和12 483 721的最小公倍数和最大公约数   1千万与1千万

算法计算时长遍历法2640.95ms辗转相除法1.47ms更相减损法2.40ms

计算 9 876 543 210和12 345 678的最小公倍数和最大公约数   98亿与1千万

算法计算时长遍历法2765.62ms辗转相除法2.8135ms更相减损法38.82ms

计算 9 876 543 210和  988 543 214的最小公倍数和最大公约数   98亿与9亿

算法计算时长遍历法〉600000ms辗转相除法16.97ms更相减损法12.95ms可以看出，在处理大数的时候辗转相除法和更相减损法更优，更相减损法适用于处理两个相差较大的大数，而更相减损法在处理两个相差较小的大数时速度更快

n个数的最大公约数

求n个数的最大公约数时，可以先求第1、2个数的最大公约数q1，再求q1与第3个数的最大公约数q2，....求q(n-2）与n的最大公约数q(n-1)即可

或者采用2分法对数进行分组，求各个组的最大公约数，q1,q2...  q1，q2的最大公约数即为n个数的最大公约数