堆与堆排序

来源：互联网发布：软件升级必然凯文凯利编辑：程序博客网时间：2024/04/30 05:07

堆的存储：

一般都用数组来表示堆，i结点的父结点下标就为(i – 1) / 2。它的左右子结点下标分别为2 * i + 1和2 * i + 2。如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。

堆排序的思想：

利用大顶堆(小顶堆)堆顶记录的是最大关键字(最小关键字)这一特性，使得每次从无序中选择最大记录(最小记录)变得简单。

其基本思想为(大顶堆)：

1)将初始待排序关键字序列(R1,R2....Rn)构建成大顶堆，此堆为初始的无序区；

2)将堆顶元素R[1]与最后一个元素R[n]交换，此时得到新的无序区(R1,R2,......Rn-1)和新的有序区(Rn),且满足R[1,2...n-1]<=R[n];

3)由于交换后新的堆顶R[1]可能违反堆的性质，因此需要对当前无序区(R1,R2,......Rn-1)调整为新堆，然后再次将R[1]与无序区最后一个元素交换，得到新的无序区(R1,R2....Rn-2)和新的有序区(Rn-1,Rn)。不断重复此过程直到有序区的元素个数为n-1，则整个排序过程完成。

操作过程如下：

1)初始化堆：将R[1..n]构造为堆；

2)将当前无序区的堆顶元素R[1]同该区间的最后一个记录交换，然后将新的无序区调整为新的堆。

因此对于堆排序，最重要的两个操作就是构造初始堆和调整堆，其实构造初始堆事实上也是调整堆的过程，只不过构造初始堆是对所有的非叶节点都进行调整。

下面举例说明：

给定一个整形数组a[]={16,7,3,20,17,8}，对其进行堆排序。

首先根据该数组元素构建一个完全二叉树，得到

然后需要构造初始堆，则从最后一个非叶节点开始调整，调整过程如下：

20和16交换后导致16不满足堆的性质，因此需重新调整

这样就得到了初始堆。

即每次调整都是从父节点、左孩子节点、右孩子节点三者中选择最大者跟父节点进行交换(交换之后可能造成被交换的孩子节点不满足堆的性质，因此每次交换之后要重新对被交换的孩子节点进行调整)。有了初始堆之后就可以进行排序了。

此时3位于堆顶不满堆的性质，则需调整继续调整

这样整个区间便已经有序了。

从上述过程可知，堆排序其实也是一种选择排序，是一种树形选择排序。只不过直接选择排序中，为了从R[1...n]中选择最大记录，需比较n-1次，然后从R[1...n-2]中选择最大记录需比较n-2次。事实上这n-2次比较中有很多已经在前面的n-1次比较中已经做过，而树形选择排序恰好利用树形的特点保存了部分前面的比较结果，因此可以减少比较次数。对于n个关键字序列，最坏情况下每个节点需比较log2(n)次，因此其最坏情况下时间复杂度为nlogn。堆排序为不稳定排序，不适合记录较少的排序。

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

void HeapAdjust(int *a,int i,int size)
{
int lchild = 2 * i;
int rchild = 2 * i + 1;
int max = i;
if(i <= size / 2)
{
if(lchild < size&&a[lchild] > a[max])
{
max = lchild;
}

if(rchild < size&&a[rchild] > a[max])
{
max = rchild;
}

if(max != i)
{
swap(a[i],a[max]);
HeapAdjust(a,max,size);
}
}
}

void BuildHeap(int *a,int size)
{
for(int i = size / 2;i >= 1;i--)
{
HeapAdjust(a,i,size);
}
}

void HeapSort(int *a,int size)
{
BuildHeap(a,size);
for(int i = size;i >= 1;i--)
{
swap(a[1],a[i]);
HeapAdjust(a,1,i-1);
}
}

int main()
{
int a[] = {16,7,3,20,17,8};
int size = 6;
HeapSort(a,size);
for(int i = 1;i <= sizeof(a)/sizeof(a[0]);i++)
{
cout<<a[i]<<" ";
}
cout<<endl;
return 0;
}

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