EM算法求高斯混合模型参数估计——Python实现

来源：互联网发布：苹果电脑的软件编辑：程序博客网时间：2024/05/18 02:56

EM算法一般表述：

当有部分数据缺失或者无法观察到时，EM算法提供了一个高效的迭代程序用来计算这些数据的最大似然估计。在每一步迭代分为两个步骤：期望（Expectation）步骤和最大化（Maximization）步骤，因此称为EM算法。

假设全部数据Z是由可观测到的样本X={X1, X2，……, Xn}和不可观测到的样本Z={Z1, Z2，……, Zn}组成的，则Y = X∪Z。EM算法通过搜寻使全部数据的似然函数Log(L(Z; h))的期望值最大来寻找极大似然估计，注意此处的h不是一个变量，而是多个变量组成的参数集合。此期望值是在Z所遵循的概率分布上计算，此分布由未知参数h确定。然而Z所遵循的分布是未知的。EM算法使用其当前的假设h`代替实际参数h，以估计Z的分布。

Q( h`| h) = E [ ln P(Y|h`) | h, X ]

EM算法重复以下两个步骤直至收敛。

步骤1：估计（E）步骤：使用当前假设h和观察到的数据X来估计Y上的概率分布以计算Q( h` | h )。

Q( h` | h ) ←E[ ln P(Y|h`) | h, X ]

步骤2：最大化（M）步骤：将假设h替换为使Q函数最大化的假设h`:

h ←argmaxQ( h` | h )

高斯混合模型参数估计问题：

简单起见，本问题研究两个高斯混合模型参数估计k=2。

问题描述：假设X是由k个高斯分布均匀混合而成的，这k个高斯分布的均值不同，但是具有相同的方差。设样本值为x1, x2, ……, xn，xi可以表示为一个K+1元组< xi, zi1, zi2, …, zik>，其中只有一个取1，其余的为0。此处的zi1到zik为隐藏变量，是未知的。且任意zij被选择的概率相等，即

P（zij = 1）=1/k (j=1,2,3.....k)

EM算法求解过程推导如下：

Python实现（模拟2个正态分布的均值估计）：

#coding:gbkimport mathimport copyimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltisdebug = False# 指定k个高斯分布参数，这里指定k=2。注意2个高斯分布具有相同均方差Sigma，分别为Mu1,Mu2。def ini_data(Sigma,Mu1,Mu2,k,N):    global X    global Mu    global Expectations    X = np.zeros((1,N))    Mu = np.random.random(2)    Expectations = np.zeros((N,k))    for i in xrange(0,N):        if np.random.random(1) > 0.5:            X[0,i] = np.random.normal()*Sigma + Mu1        else:            X[0,i] = np.random.normal()*Sigma + Mu2    if isdebug:        print "***********"        print u"初始观测数据X："        print X# EM算法：步骤1，计算E[zij]def e_step(Sigma,k,N):    global Expectations    global Mu    global X    for i in xrange(0,N):        Denom = 0        for j in xrange(0,k):            Denom += math.exp((-1/(2*(float(Sigma**2))))*(float(X[0,i]-Mu[j]))**2)        for j in xrange(0,k):            Numer = math.exp((-1/(2*(float(Sigma**2))))*(float(X[0,i]-Mu[j]))**2)            Expectations[i,j] = Numer / Denom    if isdebug:        print "***********"        print u"隐藏变量E（Z）："        print Expectations# EM算法：步骤2，求最大化E[zij]的参数Mudef m_step(k,N):    global Expectations    global X    for j in xrange(0,k):        Numer = 0        Denom = 0        for i in xrange(0,N):            Numer += Expectations[i,j]*X[0,i]            Denom +=Expectations[i,j]        Mu[j] = Numer / Denom # 算法迭代iter_num次，或达到精度Epsilon停止迭代def run(Sigma,Mu1,Mu2,k,N,iter_num,Epsilon):    ini_data(Sigma,Mu1,Mu2,k,N)    print u"初始<u1,u2>:", Mu    for i in range(iter_num):        Old_Mu = copy.deepcopy(Mu)        e_step(Sigma,k,N)        m_step(k,N)        print i,Mu        if sum(abs(Mu-Old_Mu)) < Epsilon:            breakif __name__ == '__main__':   run(6,40,20,2,1000,1000,0.0001)   plt.hist(X[0,:],50)   plt.show()

本代码用于模拟k=2个正态分布的均值估计。其中ini_data(Sigma,Mu1,Mu2,k,N)函数用于生成训练样本，此训练样本时从两个高斯分布中随机生成的，其中高斯分布a均值Mu1=40、均方差Sigma=6，高斯分布b均值Mu2=20、均方差Sigma=6，生成的样本分布如下图所示。由于本问题中实现无法直接冲样本数据中获知两个高斯分布参数，因此需要使用EM算法估算出具体Mu1、Mu2取值。

图 1 样本数据分布

在图1的样本数据下，在第11步时，迭代终止，EM估计结果为：

Mu=[ 40.55261688 19.34252468]

附：

极大似然估计

参考文献：机器学习TomM.Mitchell P.137

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