EM算法求高斯混合模型参数估计-python

#coding:gbkimport mathimport copyimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltisdebug = False# 指定k个高斯分布参数，这里指定k=2。注意2个高斯分布具有相同均方差Sigma，分别为Mu1,Mu2。def ini_data(Sigma,Mu1,Mu2,k,N):global Xglobal Muglobal ExpectationsX = np.zeros((1,N))Mu = np.random.random(2)Expectations = np.zeros((N,k))for i in xrange(0,N):if np.random.random(1) > 0.5:X[0,i] = np.random.normal()*Sigma + Mu1else:X[0,i] = np.random.normal()*Sigma + Mu2if isdebug:print "***********"print u"初始观测数据X："print X# EM算法：步骤1，计算E[zij]def e_step(Sigma,k,N):global Expectationsglobal Muglobal Xfor i in xrange(0,N):Denom = 0for j in xrange(0,k):Denom += math.exp((-1/(2*(float(Sigma**2))))*(float(X[0,i]-Mu[j]))**2)for j in xrange(0,k):Numer = math.exp((-1/(2*(float(Sigma**2))))*(float(X[0,i]-Mu[j]))**2)Expectations[i,j] = Numer / Denomif isdebug:print "***********"print u"隐藏变量E（Z）："print Expectations# EM算法：步骤2，求最大化E[zij]的参数Mudef m_step(k,N):global Expectationsglobal Xfor j in xrange(0,k):Numer = 0Denom = 0for i in xrange(0,N):Numer += Expectations[i,j]*X[0,i]Denom +=Expectations[i,j]Mu[j] = Numer / Denom # 算法迭代iter_num次，或达到精度Epsilon停止迭代def run(Sigma,Mu1,Mu2,k,N,iter_num,Epsilon):ini_data(Sigma,Mu1,Mu2,k,N)print u"初始<u1,u2>:", Mufor i in range(iter_num):Old_Mu = copy.deepcopy(Mu)e_step(Sigma,k,N)m_step(k,N)print i,Muif sum(abs(Mu-Old_Mu)) < Epsilon:breakif __name__ == '__main__':   run(6,40,20,2,1000,1000,0.0001)   plt.hist(X[0,:],50)   plt.show()

EM算法一般表述：

       当有部分数据缺失或者无法观察到时，EM算法提供了一个高效的迭代程序用来计算这些数据的最大似然估计。在每一步迭代分为两个步骤：期望（Expectation）步骤和最大化（Maximization）步骤，因此称为EM算法。

       假设全部数据Z是由可观测到的样本X={X1, X2，……, Xn}和不可观测到的样本Z={Z1, Z2，……, Zn}组成的，则Y = X∪Z。EM算法通过搜寻使全部数据的似然函数Log(L(Z; h))的期望值最大来寻找极大似然估计，注意此处的h不是一个变量，而是多个变量组成的参数集合。此期望值是在Z所遵循的概率分布上计算，此分布由未知参数h确定。然而Z所遵循的分布是未知的。EM算法使用其当前的假设h`代替实际参数h，以估计Z的分布。

                                                             Q( h`| h) = E [ ln P(Y|h`) | h, X ]

       EM算法重复以下两个步骤直至收敛。

       步骤1：估计（E）步骤：使用当前假设h和观察到的数据X来估计Y上的概率分布以计算Q( h` | h )。

                                                              Q( h` | h ) ←E[  ln P(Y|h`) | h, X ]

       步骤2：最大化（M）步骤：将假设h替换为使Q函数最大化的假设h`:

                                                              h   ←argmaxQ( h` | h )

高斯混合模型参数估计问题：

简单起见，本问题研究两个高斯混合模型参数估计k=2。

       问题描述：假设X是由k个高斯分布均匀混合而成的，这k个高斯分布的均值不同，但是具有相同的方差。设样本值为x1, x2, ……, xn，xi可以表示为一个K+1元组< xi, zi1, zi2, …, zik>，其中只有一个取1，其余的为0。此处的zi1到zik为隐藏变量，是未知的。且任意zij被选择的概率相等，即

                                                 P（zij = 1）=1/k (j=1,2,3.....k)