素数知识——HDU 4196

来源：互联网发布：斯坦纳树算法详解编辑：程序博客网时间：2024/05/16 07:20

对应HDU题目：

思路：显然取n!是最大的，但这不一定是一个完全平方数，需要把多余的部分除掉。
可以利用勒让德定理很快处理出n!所有素因子的指数，偶数保留，奇数减1，即可保证这些素因子最后乘积为完全平方数，也就是用n!除以所有指数为奇数的素因子的乘积。注意由于有取模运算，所以不能直接除。——那怎么办？换个思路，先把n!除以<=n的所有质数，再乘上指数为偶数的质数！

在正数n!的素因子标准分解式中，素数p的指数记作

，则

1背景编辑

勒让德定理是由法国数学家勒让德发现证明的.

2证明编辑

若把2,3,...,n都分解成了标准分解式，则

就是这n-1个分解式中p的指数和.设其中p的指数为r的有

个(

)，则

其中

恰好是2,3,...,n这n-1个数中能被

除尽的数的个数，即

得证.

#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cmath>#include<map>#include<queue>#include<stack>#include<vector>#include<algorithm>#include<cstring>#include<string>#include<iostream>const int MAXN=10000001;const long long MOD=1000000007;const int sq=(int)sqrt(double(MAXN));using namespace std;int prime[700000];int vis[MAXN];long long f[MAXN];//f[n]表示（n!/（不大于n的所有素数乘积））%MODint u;void print_prime(){    f[0]=f[1]=1;    for(int i=2; i<MAXN; i++){        f[i]=f[i-1];        if(!vis[i]){            prime[u++]=i;            if(i<=sq) for(int j=i*i; j<MAXN; j+=i) vis[j]=1;        }        else f[i]=(f[i]*i)%MOD;    }}int main(){    //freopen("in.txt","r",stdin);    print_prime();    int n;    while(scanf("%d", &n), n)    {        long long ans=f[n];        int i,j;        for(i=0; i<u && prime[i]<=(n>>1); i++){            int num=n, cnt=0;            while(num)//<span style="color: rgb(51, 51, 51); font-family: 宋体; font-size: 14px; line-height: 28px;">勒让德定理</span>            {                num/=prime[i];                cnt+=num;            }            if(0==(cnt&1)) ans=(ans*prime[i])%MOD;        }        printf("%I64d\n", ans);    }    return 0;}

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