数据结构之---树(二)

二叉树是一棵每个节点都不能有多余2个儿子的树，它的一个重要的性质是平均二叉树的深度要比N小得多，而二叉查找树的深度的平均值是O（logN）。二叉树的定义比较简单

/*二叉树有两个儿子，所以可以直接由根节点指向它们即可*/typedef struct tree_node *ptrnode;typedef struct tree_node *tree;struct tree_node{int element;ptrnode lchild;ptrnode rchild;}/*二叉树结构清晰，分别指向左右孩子即可，当然也可用数组实现，不过指针比较清晰，我采取指针*/

二叉树有很多应用，这里举两个很常见的例子，第一个是表达式树，表达式树是叶节点为操作数，其余节点为操作符的一种树。对其进行中序遍历可以得到一个标准的表达式。（联想：可以用来制作计算器），由于中缀表达式可以很方便的转化为后缀表达式，所以这里讨论一下根据后缀表达式构造一颗表达式树。它的思想是，对输入序列进行扫描，如果为操作数，则进栈，为操作符则弹出两个元素，使它们指向这个新进的元素，同时该元素进栈。

/*其策略为如果为操作数，则进栈，如果为操作符，则弹出两个元素，指向该操作符，将该操作符进栈*/tree create_expression_tree(){char in;stack store;/*这是一个树节点指针类型的栈，用于存储*/while((in=getchar())!=EOF){ptrnode new_node=create_tree_node(in);/*创建一个节点*/if in is operandpush(new_node,store);if in is operator{new_node->rchild=pop(store);new_node->lchild=pop(store);push(new_node,store);}}}/*至此一棵表达式树构造完成*/

还有一个应用的例子是非常出名的二叉查找树，它在查找中很有应用。一棵二叉查找树的平均深度为logN。二叉查找树是左子树的关键字小于该节点，右子树的关键字大于该节点的树，很明显这是一个递归的定义。

对于二叉树进行的操作有创建一棵空树，查找某个元素，查找最大值，查找最小值，删除，插入等。

创建一颗空树make_empty：

tree make_empty(tree T){if(T!=NULL){make_empty(T->lchild);make_empty(T->rchild);free(T);}return NULL;}

查找 find：

ptrnode find(int x,tree T){if(T==NULL)return NULL;if(x<T->element)return find(T->lchild);if(x>T->element)return find(T->rchild);elsereturn T;}

查找最小find_min：

ptrnode find_min(tree T){if(T==NULL)return NULL;elseif(T->lchild==NULL)return T;elsereturn find_min(T->lchild);}

查找最大find_max:

ptrnode find_max(tree T){if(T==NULL)return NULL;elseif(T->rchild==NULL)return T;elsereturn find_max(T->rchild);}/*当然完全不用使用递归，使用递归是为了让结构更加清晰*/

插入操作:

tree insert(int x,tree T){if(T==NULL){T=(tree)malloc(sizeof(struct tree_node));T->element=x;T->lchild=NULL;T->rchild=NULL;}elseif(x<T->element)T->lchild=insert(x,T->lchild);elseif(x>T->element)T->rchild=insert(x,T->rchild);return T;}/*注意到如果x相等的话，我们什么也不做*/

最后是删除操作，几乎在所有结构中删除都是比较麻烦的，注意到删除一个元素后，可以用它右子树的最小节点来填充（或者左子树的最大），然后递归删除即可

tree delete(int x,tree T){if(T==NULL)Error("not found");elseif(x<T->element)T->lchild=delete(x,T->lchild);elseif(x>T->element)T->rchild=delete(x,T->rchild);else/*找到了*/{if(T->lchild&&T->rchild)/*拥有两个孩子*/{ptrnode temp;temp=find_min(T->rchild);T->element=temp->element;T->rchild=delete(temp->element,T->rchild);}else/*只有一个孩子*/{if(T->lchild==NULL)T=T->rchild;if(T->rchild==NULL)T=T->lchild;}}return T;}/*注意到为了保持程序易读，后面进行了两次遍历，效率并不高。当然这很容易改进*/

树还有很多像什么AVL树，B树，伸展树等等。这里推荐一本数据结构的书籍，严的那本很多人推荐，我也看过，不过个人觉得他的讲法并不是很好，分析也不够透彻。推荐一本老外的吧：data structures and algorithom analysis in c。不得不说，老外很多书都很经典的，这本也是很多一线高校的教材，英语好的话可以挑战一下原版。