组合数学部分知识点

数学
1.质数，log，二分，题设证明
2.容斥原理 错排公式
3.与一个数a互质，必然是c+ka，c为a以内与a 互质的数字。Happy 2006
4.对于任意的整数n，必然存在一个由不多于两个的数来组成的一个倍数。因为a，aa，aaa……取n+1个，则必有两个模n余数相同，相减即得n的倍数m。而m只由a、0组成。5.对于大的数字，一般用同模定理缩减规模 (a+b)%m=a%m+b%m,(a*b)%m=a%m*b%m

组合数学
加法乘法原理 分类，分步
错排公式 D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]
第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；
第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况：⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法；⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有D(n-1)种方法；

证明:已知n + 1个正整数，它们全都小于或等于2n，证明当中一定有两个数是互质*的。

假设有n个盒子，在第1个盒子中放1和2、在第2个盒子中放3和4、在第3个盒子中放5和6、……、在第n个盒子中放2n - 1和2n。

若从在这n个盒子中随意抽出n + 1个数，其中最少有一个盒子的两个数均会被抽出。由此，可知这n + 1个数中必定有一对连续数，而明显地连续数是互质的。

/*Sky Code求得是n个数中，有多少组(a,b,c,d)的公约数为1，值得注意的是这四个数不一定两两互质。  所以我们从它的反面考虑，先求出公约数不为1的个数。  思路：把每个数素数分解，记录不重复素因子所能组成的因子，把这些因子的总数统计，并且统计每个因子是由多少个素因子组成  如这n个数中含2的个数为a,含3的个数为b,含6的个数为c,那么公约数大于1的总数为p=c(a,4)+c(b,4)-c(c,4),总的个数为c(n,4)  用c(n,4)-p即为所求*/#include <stdio.h>#include <string.h>#include <stdlib.h>#define MAXN 10000+100__int64 A[MAXN];__int64 B[MAXN];__int64 C[MAXN];__int64 P[MAXN];__int64 N;__int64 num;__int64 yz;void dfs(){__int64 i,j;__int64 temp,k;yz=0;for(i=2;i*i<=num;i++){if(num%i==0){C[yz++]=i;while(num%i==0)num/=i;}}if(num>1) C[yz++]=num;//C中存放质因子for(i=1;i<(1<<yz);i++){k=0;temp=1;//排列组合所有质因子，组合成的因子。每一位代表一个因子的C中下标for(j=0;j<yz;j++)if(i&(1<<j))//判断有哪位就相乘{k++;temp*=C[j];}B[temp]++;//记录这个因子有多少个A[temp]=k;//记录这个因子由几个质因子组成}}int main(){__int64 i;__int64 ans;memset(P,0,sizeof(A));for(i=4;i<MAXN;i++){P[i]=i*(i-1)*(i-2)*(i-3)/24;}while(scanf("%d",&N)!=EOF){memset(B,0,sizeof(A));for(i=0;i<N;i++){scanf("%d",&num);dfs();}ans=0;for(i=2;i<MAXN;i++)if(B[i])//容斥原理,奇相加。偶相减{if(A[i]%2)    ans+=P[B[i]];else           ans-=P[B[i]];}ans=P[N]-ans;        printf("%I64d\n",ans);}return 0;}