POJ1458（最长公共子序列）

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：


（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；


（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；


（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

dp方程：
如果a[i]=a[j] 则dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1
否则dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])

AC代码：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<algorithm>#include<iostream>#define N 1005using namespace std;char a[N], b[N];int dp[N][N];int main(){    while(~scanf("%s %s", a, b)){        getchar();        int la = strlen(a);        int lb = strlen(b);        dp[0][0] = 0;        for(int i =1; i<=la; i++) dp[i][0] = 0;        for(int i =1; i<=lb; i++) dp[0][i] = 0;        for(int i =1; i<=la; i++){            for(int j =1; j<=lb; j++){                if(a[i-1]==b[j-1])                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;                else                    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);            }        }        printf("%d\n", dp[la][lb]);    }    return 0;}