代数系统笔记

什么是代数系统？

若二元运算 f1,f2,...,fk 定义在非空集合 S 上,则集合 S 与这些运算一起统称为代数系统,记为<S,f1,f2,...,fk>。

S可以是集合、布尔变量、矩阵、整数的集合。但都具有相同的性质：

(1)参与运算的对象属于同一个集合的 2 个对象, 2 个整数、2 个子集、2 个布尔变量、2 个矩阵。这种运算符称为双目运算符,还有单目运算符。

(2)运算后的结果仍属于同一个集合,仍为整数、子集、布尔量、矩阵,这称为该运算是封闭的。并不是所有的运算都封闭。

从小学开始，我们就开始接触代数系统，我们首先定义了整数，其次为整数定义了"+"、"-"、"*"的关系，这些关系对于整数这个集合来说是封闭的。但是当我们引入"/"关系，我们发现2/3一类运算的结果不属于整数，于是我引入有理数的概念来代替整数集合。后来有了“^”关系，我们引入了实数。形成了我们大学之前学习的代数系统<实数，+，-，*，/，^>。

过去我们曾为+、-、*、/规定了一系列运算规律，例如交换律和分配律，而这些定律如今也同样适用于其他代数系统，不过我们需要对它们进行详细的定义：

a.设°是集合 S 上的二元运算,若任意x,y,z∈S 都有(x°y)°z=x°(y°z),则称°在 S上是可结合的,或者说运算°在 S 上满足结合律。

b.设°是集合 S 上的二元运算,若任意x∈S 都有 x°x=x, 则称°在 S 上是幂等的,或者说运算°在 S 上满足幂等律。

c.设°与*是集合 S 上的二种运算,若任意x,y,z∈S 都有 x*(y°z)=(x*y)°(x*z)与(y°z)*x=(y*x)°(z*x),则称*对°是可分配的。

d.设°与*是集合 S 上的二种可交换的二元运算,若任意x,y∈S 都有 x*(x°y)=x 与x°(x*y)=x 则称*与°是满足吸收律。

另外，类似于实数系统中的0和1的性质同样存在于其它代数系统，我们称之为零元和单位元：

a.设°是集合 S 上的二元运算,如果集合 S 中的某元素 eL,对任意x∈S 都有 eL°x=x 则称之为左单位元。
设°是集合 S 上的二元运算,如果集合 S 中的某元素 eR,对任意x∈S 都有 x°eR=x 则称之为右单位元。
如果 S 中某个元素既是左单位元,又是右单位元,则为单位元。

b.设°是 S 上的二元运算,若存在左单位元 eL 与右单位元 eR,则 eL=eR=e 且唯一。
证明:
任意x∈S 都有 eL°x=x,取 x=eR 有 eL°eR=eR
任意x∈S 都有 x°eR=x,取 x=eL 有 eL°eR=eL
由以上二式可知 eR=eL,即两个单位元的值相等,不妨将其值记为 e ,则 e 既是左单位
元,又是右单位元,故由单位元定义可知,e 是单位元。
假设还有单位元 e',由单位元的定义可知 e'°x=x,取 x=e 则有 e'°e=e。
由于 e 也是单位元,故 x°e=x,取 x=e'则 e'°e=e',故 e=e'即唯一。

c.对任意x∈S 都有 qL°x= qL,则称之为左零元。
对任意x∈S 都有 x°qR =qR,则称之为右零元。
若既是左零元,又是右零元则为零元。

d.设°是 S 上的二元运算,若存在左零元 qL 与右零元 qR,则 qL=qR=q。且唯一!
证明:
任意x∈S 都有 qL°x=qL,取 x=qR Þ qL°qR=qL
任意x∈S 都有 x°qR=qR,取 x=qLÞqL°qR=qR.
由以上二式可知 qR=qL,即两个零元的值相等,不妨将其值记为 q ,则 q 既是左零元,
又是右零元,故是零元。
假设有二个零元 q1 与 q2。
根据零元的定义可知 x°q1=q1,取 x=q2,则有 q2°q1=q1
根据零元的定义可知 q2°x =q2,取 x=q1,则有 q2*q1=q2
由于(1)(2)可知,q1=q2,故唯一。

同样也存在类似实数系统中的相反数和倒数的概念，我们通称之为逆元：

设°是集合 S 上的二元运算。
某 x∈S 若有 yL∈S,使得 yL°x=e,则称 yL 为 x 的左逆元。
某 x∈S 若有 yR∈S,使得 x°yR=e,yR 是 x 的右逆元。
若 y 既是 x 的左逆元又是右逆元,则为 x 的逆元。

 

说完运算性质，我们再来讨论代数系统，研究不同代数系统间的关系时，我们引入同构和同态：

设有两个代数系统<A，°>，<B，*>，若能在集合 A 与 B 之间构造映射 f，
有如下要求：
(1)任意y∈B 均存在x∈A，使得 y=f(x)
(2)当 x1,x2∈A, x1≠x2 有 f(x1),f(x2)∈B, f(x1)≠f(x2)
(3)任意x1,x2∈A 有 f(x1°x2)=f(x1) *f(x2)

 

其中条件(1)是表示这个映射是满射，每个对象都有原象。条件(2)表示单射，即原像不同则映射后的对象也不同，这两个条件一块称为双射。条件(3)表示原运算结果的对象=两对象新运算中的结果。

 

当满足(1)、(2)、(3)时，则称两个代数系统结构相同，即同构；

当只满足(3)时，则两个代数系统同态，记为 A~B；

当满足(1)、(3)时，则称满同态；

当满足(2)、(3)时，则称单同态；

二进制与十进制之间便是最为常见的同构的代数系统；

而有理数与无理数之间是同态关系。

 

 

PS：计划好久的任务，虽然缺了群、环、域，但总算赶在过年前完成了！