欧拉定理、费马小定理、逆元理论基础

欧拉定理：

在数论中，欧拉定理,（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则:   a^phi(n) ≡ 1 (mod n).  phi(n)是n的欧拉函数的值。

费马小定理：

假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

注意：费马小定理是欧拉定理的特例，因为P是质数，P的欧拉函数值为p-1。

乘法逆元：

若ax≡1 mod f, 则称a关于模f的乘法逆元为x。也可表示为ax≡1(mod f)。更容易理解的表述 ax (mod f) = 1 .

注意：只有当a与n互质的时候才存在逆元

(b/a) (mod n) = (b * x) (mod n)。 x表示a的逆元。并且ax≡1(mod n),欧拉定理a^phi(n) ≡ 1 (mod n)，x = a^(phi(n) - 1)；如果n为质数那么phi(n) = n-1 ,那么x = a^(n-2) 

这样x就可以用快速幂来求。