欧拉定理与费马小定理
来源:互联网 发布:sql置疑修复 编辑:程序博客网 时间:2024/04/29 19:11
欧拉定理与费马小定理
进来回顾了下欧拉定理,笔记整理一下。
剩余数系统
要讲欧拉定理,我们最好先了解下剩余数系统。
完全剩余数系统(Complete residue system (CRS) modulo n:
A set of n integers such that no two are congruent modulo n.
摸n之后结果不同的全部n个值构成了完全剩余系。
RSS(Reduced residue system (RRS) modulo n:
An RRS modulo n is a subset of a CRS modulo n such that each
integer is relatively prime to n
RSS是CRS的一个子集,包含了所有与n互素的数。
定义
定理
同时还有一个建立在上述系统上的定理:
如果1=(a,n),R 是一个模n的剩余数系统,那么aR={ar|r
∈ R }也是一个模n的剩余数系统。
证明如下:
任意r
∈ R, 因为 1=(a,n) 并且 1=(r,n) ,所以 1=(ar,n).
所以aR是一个模n的剩余数系统。
例子:
欧拉定理与费马小定理
欧拉定理
欧拉定理描述的是一个关于同余的性质,表述如下:
∀a∈Z∗n,1≡aϕ(n)(mod n)
证明过程如下:
对于元素a,知1=(a,n).根据上面描述的定理,我们可以得到:
∏b∈Z∗nb≡n∏b∈Z∗nab≡naϕ(n)∏b∈Z∗nb .因为
gcd(∏b∈Z∗nb,n)=1,可以推出∏b∈Z∗nb的逆元是存在的,所以1≡aϕ(n)(mod n)
费马小定理
费马小定理是欧拉定理的一种特殊情况,表述如下:
∀质数p,并且对于∀x∈Zp,x≡xp(mod p)
证明如下:
因为p是质数,那么
ϕ(p)=p−1 ,x与p代码欧拉定理即可得到费马小定理.
总结
欧拉定理在密码学中应用广泛,在RSA加密算法中就用到了欧拉定理的性质,本文总结了欧拉定理及其证明过程,方便以后回忆总结。
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