UVALIVE 3305 Tour

思路【转】：

  欧几里得旅行商问题是对平面上给定的n个点确定一条连接各点的最短闭合旅程的问题。如图（a）给出了一个7个点问题的解。这个问题的一般形式是NP完全的，故其解需要多于多项式的时间。

J.L. Bentley 建议通过只考虑双调旅程(bitonic tour)来简化问题,这种旅程即为从最左点开始，严格地从左到右直至最右点，然后严格地从右到左直至出发点。下图(b)显示了同样的7个点的最短双调路线。在这种情况下，多项式的算法是可能的。事实上，存在确定的最优双调路线的O(n*n)时间的算法。

 图a            图b

注:在一个单位栅格上显示的平面上的七个点。 a)最短闭合路线,长度大约是24.89。这个路线不是双调的。b)相同点的集合上的最短双调闭合路线。长度大约是25.58。

这是一个算导上的思考题15-1。

首先将给出的点排序，关键字x，重新编号，从左至右1，2，3，…，n。

定义p[i][j]，表示结点i到结点j之间的距离。

定义d[i][j]，表示从i连到1，再从1连到j，（注意，i>j，且并没有相连。）

对于任意一个点i来说，有两种连接方法，一种是如图（a）所示，i与i-1相连，另一种呢是如图（b），i与i-1不相连。

根据双调旅程，我们知道结点n一定与n相连，那么，如果我们求的d[n][n-1]，只需将其加上p[n-1][n]就是最短双调闭合路线。

根据上图，很容易写出方程式：

dp[i][j]=dp[i-1][j]+dist[i][i-1];

dp[i][i-1]=min(dp[i][i-1],dp[i-1][j]+dist[j][i]);

代码

#include <map>#include <set>#include <list>#include <cmath>#include <cctype>#include <ctime>#include <deque>#include <stack>#include <queue>#include <cstdio>#include <string>#include <vector>#include <climits>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#define LL long long#define PI 3.1415926535897932626using namespace std;int gcd(int a, int b) {return a % b == 0 ? b : gcd(b, a % b);}#define MAXN 105struct node{    int x,y;}src[MAXN];double dp[MAXN][MAXN];double dis[MAXN][MAXN];double dist(int ida,int idb){    return sqrt((double)((src[ida].x-src[idb].x)*(src[ida].x-src[idb].x)+(src[ida].y-src[idb].y)*(src[ida].y-src[idb].y)));}int N;int main(){    while (scanf("%d",&N)!=EOF)    {        for (int i=1;i<=N;i++)            scanf("%d%d",&src[i].x,&src[i].y);        if (N==1){  puts("0.00"); continue; }        for (int i=1;i<=N;i++)        {            dis[i][i]=0;            for (int j=i+1;j<=N;j++)                dis[i][j]=dis[j][i]=dist(i,j);        }        for (int i=0;i<=N;i++) for (int j=0;j<=N;j++) dp[i][j]=1e9;        dp[2][1]=dis[2][1];        //printf("%lf %lf\n",dp[2][1],dp[3][1]);        for (int i=2;i<=N;i++)            for (int j=1;j<i;j++)        {            dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j]+dis[i-1][i]);            dp[i][i-1]=min(dp[i][i-1],dp[i-1][j]+dis[i][j]);        }        printf("%.2lf\n",dp[N][N-1]+dis[N][N-1]);    }    return 0;}