数论 莫比乌斯反演

原创：http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8542292

莫比乌斯反演在数论中占有重要的地位，许多情况下能大大简化运算。那么我们先来认识莫比乌斯反演公式。

 

定理：和是定义在非负整数集合上的两个函数，并且满足条件，那么我们得到结论

 

     

 

在上面的公式中有一个莫比乌斯函数，它的定义如下：

 

    （1）若，那么

    （2）若，均为互异素数，那么

    （3）其它情况下

或者：

           1）莫比乌斯函数μ(n)的定义域是N    

      2）μ(1)=1

     3）当n存在平方因子时，μ(n)=0；（则 n = 4, 8, 9, 12等时，μ(n)=0）；

     4）当n是素数或奇数个不同素数之积时，μ(n)=-1 ; （例如2, 3, 30=2*3*5；μ(2)=μ(3)=μ(30)=0）

     5）当n是偶数个不同素数之积时，μ(n)=1；（例如6=2*3；μ(6)=1）;

 

对于函数，它有如下的常见性质：

 

    （1）对任意正整数有

  

                            

 

        （2）对任意正整数有

 

         

 

线性筛选求莫比乌斯函数μ(n)代码。

#include<stdio.h>#include<string.h>const int N=100;int vis[N+1];int mu[N+1];int prime[N+1];void Init(){    memset(vis,0,sizeof(vis));    mu[1] = 1;    int cnt = 0;    for(int i=2; i<N; i++)    {        if(!vis[i])        {            prime[cnt++] = i;            mu[i] = -1;//素数的莫比乌斯函数值为-1        }        for(int j=0; j<cnt && i*prime[j]<N; j++)        {            vis[i*prime[j]] = 1;            if(i%prime[j]) mu[i*prime[j]] = -mu[i];            else            {                mu[i*prime[j]] = 0;                break;            }        }    }}int main(){int i;Init();for(i=1;i<100;i++){printf("%d ",mu[i]);if(i%10==0){printf("\n");}}return 0;}

有了上面的知识，现在我们来证明莫比乌斯反演定理。

 

证明

 

证明完毕！

我们知道莫比乌斯反演的一般描述为：

 

     

 

     其实它还有另一种描述，本题也是用到这种。那就是：