bzoj 4176 Lucas的数论 莫比乌斯反演

∑ni=1∑nj=1d(i,j)=∑ni=1∑nj=1∑n2k=1[k|ij]
=∑ni=1∑nj=1∑n2k=1[kgcd(i,k)|j]=∑ni=1∑n2k=1⌊n∗gcd(i,k)k⌋
=∑nd=1∑⌊nd⌋i=1∑⌊n2d⌋k=1⌊nk⌋[gcd(i,k)=1]
=∑nd=1∑⌊nd⌋i=1∑nk=1⌊nk⌋[gcd(i,k)=1]
=∑nd=1∑⌊nd⌋i=1∑nk=1⌊nk⌋∑t|i,t|kμ(t)
=∑nt=1μ(t)∑nd=1∑⌊ndt⌋i=1∑⌊nt⌋k=1⌊nkt⌋
=∑nt=1μ(t)∑nd=1⌊ndt⌋∑⌊nt⌋k=1⌊nkt⌋
=∑nt=1μ(t)∑⌊nt⌋d=1⌊ndt⌋∑⌊nt⌋k=1⌊nkt⌋
=∑nt=1μ(t)(∑⌊nt⌋d=1⌊ndt⌋)2

O(n√)枚举nt , 一段区间的mu的和可以用3944的方法求。
(∑⌊nt⌋d=1⌊ndt⌋)2 也 O(nt−−√)求。

复杂度O(n34)

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;#define ll long long#define M 15000000#define M1 15000010#define mod 1000000007bool ip[M1];int mu[M1],prime[M1/10];int cnt,n,ans;map<int,int>ma;void init(){    mu[1]=1;    for(int i=2;i<=M;i++)    {        if(!ip[i])prime[++cnt]=i,mu[i]=-1;        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=M;j++)        {            ip[i*prime[j]]=1;            if(i%prime[j]==0)break;            mu[i*prime[j]]=-mu[i];        }    }    for(int i=1;i<=M;i++)mu[i]+=mu[i-1];}int f(int x){    if(x<=M)return mu[x];    if(ma.count(x))return ma[x];    int ret=1;    for(int i=2,last;i<=x;i=last+1)    {        last=x/(x/i);        ret-=f(x/i)*(last-i+1);    }    return ma[x]=ret;}int cal(int x){    int ret=0;    for(int i=1,last;i<=x;i=last+1)    {        last=x/(x/i);        ret=(ret+(ll)(x/i)*(last-i+1)%mod)%mod;    }    return ret;}int main(){    //freopen("tt.in","r",stdin);    init();    scanf("%d",&n);    for(int i=1,last;i<=n;i=last+1)    {        last=n/(n/i);        int t=cal(n/i);        ans=(ans+(ll)(f(last)-f(i-1))*t%mod*t%mod)%mod;    }    printf("%d\n",(ans+mod)%mod);    return 0;}