多项式乘法运算终极版

在上一篇文章中 http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/39005227 介绍了用快速傅里叶变

换来求多项式的乘法。可以发现它是利用了单位复根的特殊性质，大大减少了运算，但是这种做法是对复数系数的矩阵

加以处理，每个复数系数的实部和虚部是一个正弦及余弦函数，因此大部分系数都是浮点数，我们必须做复数及浮点数

的计算，计算量会比较大，而且浮点数的计算可能会导致误差增大。

 

今天，我将来介绍另一种计算多项式乘法的算法，叫做快速数论变换（NTT），在离散正交变换的理论中，已经证明在

复数域内，具有循环卷积特性的唯一变换是DFT，所以在复数域中不存在具有循环卷积性质的更简单的离散正交变换。

因此提出了以数论为基础的具有循环卷积性质的快速数论变换。

 

回忆复数向量，其离散傅里叶变换公式如下

 

  

 

离散傅里叶逆变换公式为

 

   

 

今天的快速数论变换（NTT）是在上进行的，在快速傅里叶变换（FFT）中，通过次单位复根来运算的，即满

足的，而对于快速数论变换来说，则是可以将看成是的等价，这里是模素数

的原根（由于是素数，那么原根一定存在）。即

 

       

 

所以综上，我们得到数论变换的公式如下

 

   

 

而数论变换的逆变换公式为

 

    

 

这样就把复数对应到一个整数，之后一切都是在系统内考虑。

 

上述数论变换（NTT）公式中，要求是素数且必须是的因子。由于经常是2的方幂，所以可以构造形

如的素数。通常来说可以选择为费马素数，这样的变换叫做费马数数论变换。

 

这里我们选择，，这样得到模的原根值为。

 

另外附上一篇好文章：从多项式乘法到快速傅里叶变换。

 

题目：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1028

 

分析：题目意思就是大数相乘，此处用快速数论变换（NTT）实现。

 

代码：

#include <iostream>#include <string.h>#include <stdio.h>using namespace std;typedef long long LL;const int N = 1 << 18;const int P = (479 << 21) + 1;const int G = 3;const int NUM = 20;LL  wn[NUM];LL  a[N], b[N];char A[N], B[N];LL quick_mod(LL a, LL b, LL m){    LL ans = 1;    a %= m;    while(b)    {        if(b & 1)        {            ans = ans * a % m;            b--;        }        b >>= 1;        a = a * a % m;    }    return ans;}void GetWn(){    for(int i = 0; i < NUM; i++)    {        int t = 1 << i;        wn[i] = quick_mod(G, (P - 1) / t, P);    }}void Prepare(char A[], char B[], LL a[], LL b[], int &len){    len = 1;    int L1 = strlen(A);    int L2 = strlen(B);    while(len <= 2 * L1 || len <= 2 * L2) len <<= 1;    for(int i = 0; i < len; i++)    {        if(i < L1) a[i] = A[L1 - i - 1] - '0';        else a[i] = 0;        if(i < L2) b[i] = B[L2 - i - 1] - '0';        else b[i] = 0;    }}void Rader(LL a[], int len){    int j = len >> 1;    for(int i = 1; i < len - 1; i++)    {        if(i < j) swap(a[i], a[j]);        int k = len >> 1;        while(j >= k)        {            j -= k;            k >>= 1;        }        if(j < k) j += k;    }}void NTT(LL a[], int len, int on){    Rader(a, len);    int id = 0;    for(int h = 2; h <= len; h <<= 1)    {        id++;        for(int j = 0; j < len; j += h)        {            LL w = 1;            for(int k = j; k < j + h / 2; k++)            {                LL u = a[k] % P;                LL t = w * a[k + h / 2] % P;                a[k] = (u + t) % P;                a[k + h / 2] = (u - t + P) % P;                w = w * wn[id] % P;            }        }    }    if(on == -1)    {        for(int i = 1; i < len / 2; i++)            swap(a[i], a[len - i]);        LL inv = quick_mod(len, P - 2, P);        for(int i = 0; i < len; i++)            a[i] = a[i] * inv % P;    }}void Conv(LL a[], LL b[], int n){    NTT(a, n, 1);    NTT(b, n, 1);    for(int i = 0; i < n; i++)        a[i] = a[i] * b[i] % P;    NTT(a, n, -1);}void Transfer(LL a[], int n){    int t = 0;    for(int i = 0; i < n; i++)    {        a[i] += t;        if(a[i] > 9)        {            t = a[i] / 10;            a[i] %= 10;        }        else t = 0;    }}void Print(LL a[], int n){    bool flag = 1;    for(int i = n - 1; i >= 0; i--)    {        if(a[i] != 0 && flag)        {            //使用putchar()速度快很多            putchar(a[i] + '0');            flag = 0;        }        else if(!flag)            putchar(a[i] + '0');    }    puts("");}int main(){    GetWn();    while(scanf("%s %s", A, B) != EOF)    {        int len;        Prepare(A, B, a, b, len);        Conv(a, b, len);        Transfer(a, len);        Print(a, len);    }    return 0;}