伪多项式复杂度

上篇的标记算法中，谈到这个O(K)的算法是一个指数级复杂度的算法，其实对那道题目本身来说，K是固定的，既然不是输入，那也无所谓复杂度，之所以有O(K)这种说法，是把K当做一种输入了，这是看待输入的角度问题，倒不用深究。考虑一个更简化的算法（python代码，设输入n是正整数）： 

def f(n):     i = 0     while i < n:         i += 1 

这个算法在任意整数输入下都返回None，我们关注的重点是它的时间复杂度，根据python的相关机制，赋值操作是一个指针修改，可以认为是常数时间完成，于是这个算法执行了n次比较运算和加一运算 

之所以用python举例，因为python的整数和C的整数类型不同，是不限制位数的（由于内存有限，实际还是有限制的，但也足够大了），也就是说，不能将整数的所有运算都看做是常数时间的，因为数字可能非常大，在内部是用一个数组来存储。最简单的例子，两个数字a和b相加，需要做的工作和它俩的长度有关，因此加法时间复杂度是和lga，lgb线性相关 

不过在这个例子中，我们可以证明比较和加一运算都是平均常数时间的，如果两个大数比较，先看长度，长的那个显然大，如果一样长，则从前往后用类似strcmp的算法，根据前面某篇的讨论，strcmp的平均时间复杂度是O(1)；另一方面，虽然上面说加法跟数字的位数线性相关，但若是加一运算，只有在产生连续进位的时候运算时间才和长度有关，而连续加一操作平均每次是常数时间（参考算法导论的平摊分析一章） 

于是我们就可以说，上面这个算法的复杂度是Θ(n)，这个结论没有错，但这个算法是一个指数级复杂度，原因在于，输入规模并不是和n线性相关的，对于一个算法的输入规模，有一个明确简单的定义，就是输入的长度 

由此，可以把输入分为两种，数据输入和数值输入，假设使用2进制作为表示形式，则对于一个数值N来说，它的输入规模是lgN，当然，如果使用base大于2的进制，输入长度会短，但从渐进意义上来说是一样的，因为当x和y都大于1的时候，Θ(log(N,x))=Θ(log(N,y))，因此用二进制就能说明问题了。时间复杂度为Θ(T(N))，可以认为当输入规模变为原来的k倍时，算法运行时间大约会增长到原来的T(k)倍这个级别，因此就上面这个算法来说，如果输入规模增长到原来的k倍，那输入的数值n会变成原来的k次方，因此，由于n是数值输入，Θ(n)改写成以输入规模N的表示，就是Θ(2^N)，是一个指数级别复杂度 

对于数据输入，就比较好理解了，如果不考虑每个数据本身的数值长度（有时候还是要考虑），则数据输入的规模就是其数量 

假如一个算法有数值输入，且其时间复杂度可以表示为输入数值（不是输入规模）的多项式，则根据上面的讨论，实际应该是一个指数时间的算法，但这种情况毕竟和数据输入规模的指数级复杂度有些不同，一般来说，直观上也习惯用输入数值来表示复杂度，对于这种看上去像是多项式（数值的多项式）而实际代表算法是指数级（输入规模作为指数）的复杂度，称其为伪多项式复杂度 

很多算法具有伪多项式复杂度，例如，采用从2开始试除的方式判定一个整数N是否是素数，需要做N^(1/2)次除法，而每次除法的时间跟lgN有关，乍一看这个多项式也不高，但由于N会随着输入规模很快增长，仍然是一个指数时间的算法，用它判定素数是很低效的 
P.S.听说已经有了多项式时间判定素数的算法，时间复杂度是O((lgN)^6)到O((lgN)^12)，当然这里由于N会随着输入规模的线性增长而指数级增长，所以不妨设输入规模M=lgN，就容易理解了 

利用动态规划，0-1背包问题可以有一个O(NW)的算法，由于W是数值输入，因此这个算法是伪多项式时间的。事实上，通过计算理论中的方法，可以证明0-1背包问题是一个NPC问题，如果不理解伪多项式，就很难理解为何它有一个O(NW)的算法，却是NPC的 

存在伪多项式时间复杂度算法的NPC问题，一般称为弱NPC问题，反之则是强NPC问题，弱NPC问题似乎更“接近”P，在相关问题的研究中经常引起人们更大的兴趣