【算法notes】Elementary Graph Algorithms 1

图算法的核心是：searching the graph。因为可以借此获得graph structure的信息。

一，如何表示一个图？

G=(V,E)

1. adjacency-list(用的多,有向无向都可以用)：an array,Adj, of |V| lists, each list contains all adjacent vertices of Vi;

也表示了图的edges，无向图总数等于2|E|, 有向图总数=|E|。

advantage: 空间省，O(V+E)，sparse的图

disadvantage: 判断edge (u,v)是否存在，只能去Adj[u]里面查找v.

2. adjacency-matrix(特殊要求下使用)： A

对无向图来说，A=A^T.如果需要，可以只存对角线的上一半。

advantage: 可以快速知道edge(u,v)是否存在。对unweighted图来说，one bit per entry挺省的。

disadvantage: 空间多，O(V^2)，用在dense的图。

二，BFS(宽搜)和生成BF-tree

BFS是很多其他算法的archetype，对每个v找到的是s到v的最短路径长度，时间复杂度O(V+E)，底层数据结构用的Queue(FIFO)。

java实现的source codes在github

shortest-path distance S(u,v): number of edges between u and v is the smallest.

parent[v]保存了v的parent的信息，可以recursive的画出从v到s的path.

三，DFS和一些证明

DFS是从source vertex s出发，处理所有从s可以reach的顶点后，从未被reach的顶点中选择一个作为新的source vertex,重复以上过程，直到所有的顶点都被访问过为止。

所以DFS所生成的可能不仅是一棵树，而是DF-forest，而且算法保证了组成forest的DF-trees are disjoint。

DFS常被用作其他算法的sub-routine。实现的底层，多用stack或者recursive，时间复杂度O(V+E)。

Parenthesis theorem: [u.d, u.f]和[v.d, v.f]只有3种关系，disjoint, 一个完全包含另一个*2

对edges的分类(无向图里没有3,4)：

1. Tree edges: 组成DF-forest的edges,发现white vertex时候沿着的边
2. Back edges: 回到DF-tree的ancestors的edge。有向图撒，不能有这种edge才是acyclic (经常被叫做dag)。
3. Forward edges:
4. cross edges:

通过(u,v)时，v的颜色来判断，白的是1, 灰的2, 黑的3或者4。