0-1背包问题及变种

0-1背包问题：

       有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

       这个问题的特点是：每种物品只有一件，可以选择放或者不放。

算法基本思想：

      利用动态规划思想 ，子问题为：f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。

      其状态转移方程是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}   //这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。

      解释一下上面的方程：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，如果只考虑第i件物品放或者不放，那么就可以转化为只涉及前i-1件物品的问题，即1、如果不放第i件物品，则问题转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”；2、如果放第i件物品，则问题转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”(此时能获得的最大价值就是f [i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i])。则f[i][v]的值就是1、2中最大的那个值。

（注意：f[i][v]有意义当且仅当存在一个前i件物品的子集，其费用总和为v。所以按照这个方程递推完毕后，最终的答案并一定是f[N] [V]，不一定是唯一的最大值，也可以是f[N][0..V]的最大值。

 以上概念和算法基本思想来源于blog：http://www.cnblogs.com/fly1988happy/archive/2011/12/13/2285377.html

以下为算法代码：是个不断优化的过程。首先(1)给出了递归和迭代的思想，(2)然后对迭代的算法代码进行空间优化。(3)然后给出了该问题的变种：恰好装满背包和完全背包问题。

(1)递归方法：

// 0-1 背包问题递归方法  回溯求最佳解int packageRecursion(int c, int n){if(n == N) return (c < weight[n])? 0 : value[n];if(c < weight[n]) return packageRecursion(c, n+1);return max(packageRecursion(c, n+1), packageRecursion(c - weight[n], n+1) + value[n]);}

(2)迭代方法：

//  0-1 背包问题迭代方法 void packageIteraction(){int **F;F = new int*[N+1];   // 申请内存空间int i;for(i = 0; i < N+1; i++){F[i] = new int [C+1];}int j;for(i = 0 ; i < N+1; i++){for(j = 0; j < C+1; j++){F[i][j] = 0;              // 初始化}}// 正好装满背包 加上这几行/*for(i = 0 ; i < N+1; i++){for(j = 1; j < C+1; j++){F[i][j] = min;             }}*/for(i = 1; i < N+1; i++){for(j = weight[i]; j < C+1; j++){F[i][j] = F[i-1][j] > (F[i-1][j-weight[i]]+value[i])? F[i-1][j] : (F[i-1][j-weight[i]]+value[i]);}}if(F[N][C] > 0){cout << "the opt value:" << F[N][C] << endl; j = C;                //  回溯 遍历出所选择的节点for(i = N; i >= 1; i--){if(F[i][j] == (F[i-1][j-weight[i]]+value[i])){cout << i << "weight=: " << weight[i] << " value=: "<< value[i] << endl;j = j - weight[i];}}}else{cout << "not finde the opt value" << endl;}for(i = 0; i < N+1; i++)     // 释放内存空间{delete[] F[i];}delete[] F;}

（3）迭代方法优化空间复杂度：

      以上迭代方法的时间复杂度和空间复杂度都是O(N*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V)。此时的做法是用F[V]来存储当前获得的价值的最大值，第二个for循环反向遍历。

//  将j=V:weight[i] 只用一维数组保存就可以了，降低了空间复杂度void packageIteractionOpt(){int *F;F = new int[C+1];   // 申请内存空间int i;for(i = 0; i < C+1; i++)F[i] = 0;// 正好装满背包 加上这句/*for(i = 1; i < C+1; i++)      F[i] = min; */for(i = 1; i < N+1; i++){for(int j= C; j >= weight[i]; j--){F[j] = F[j] > (F[j-weight[i]]+value[i])? F[j] : (F[j-weight[i]]+value[i]);}}cout << F[C] << endl;delete []F;     // 释放内存空间}

注意：上面要从后往前遍历，前面的都是上一次的结果，如果从前往后遍历，前面的是这次的结果。

Main函数代码：

int main(){cin >> C >> N;weight = new int[N+1];value = new int[N+1];value[0] = 0;weight[0] = 0;int i;for(i = 1; i <= N; i++)cin >> value[i] >> weight[i];//cout << packageRecursion(C, 1) << endl;   // 递归方法//packageIteraction();packageIteractionOpt();        // 在同等条件下，降低了空间复杂度delete []weight;delete []value;//cout << int(0x80000000) << endl;     // int 中最小值//cout << int(0xfffffffff) << endl; ;            // int中-1return 0;}

输出结果：

(4)变种

       1：恰好装满背包

       在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f[V]是一种恰好装满背包的最优解，即背包中存有的价值，不是背包的容量。如果不能恰好满足背包容量，即不能得到f[V]的最优值，则此时f[V]=-∞，这样就能表示没有找到恰好满足背包容量的最优值。

以上代码中可以将注释的部分加上就可以了。其中int类型中最小值为0x80000000.

       2：完全背包

  此问题来源于hihoCoder中：链接，即将背包只能兑换一次或者不兑换改为可以兑换无数次

/*完全背包问题 http://hihocoder.com/contest/hiho7/problem/1 */#include <iostream>#include <memory.h>    //A题时候使用memset需要添加这个库函数using namespace std;int main(){int N, M;while(cin >> N >> M){int need, value;int *F = new int[M+1];int i, j;memset(F, 0, sizeof(int)*(M+1));//for(i = 0; i < M+1; i++)//F[i] = 0;for(i = 1; i < N+1; i++){cin >> need >> value;for(j = need; j<=M; j++){F[j] = F[j] > (F[j-need]+value)?F[j]:(F[j-need]+value);}}// 错误代码/*如样例 2 10 2 3 3 5*//*int k;for(i = 1; i < N+1; i++){cin >> need >> value;for(j = M; j>=need; j--){if(need == 0) k = 0;else k = j/need;   //  F[j] = F[j] > (F[j-k*need]+k*value)?F[j]:(F[j-k*need]+k*value);  }}*/cout << F[M] << endl;delete []F;}}// 测试输入/*5 1000144 990487 436210 673567 581056 897*/// 输出// 5940

参考文献

1： http://www.cnblogs.com/fly1988happy/archive/2011/12/13/2285377.html

2：http://www.cnblogs.com/findumars/archive/2012/01/28/2330647.html

3：http://blog.csdn.net/shaopengfei/article/details/1473020

作者：小村长  出处：http://blog.csdn.net/lu597203933 欢迎转载或分享，但请务必声明文章出处。 （新浪微博：小村长zack, 欢迎交流！）

附腾讯笔试题

“背包题目”的基本描述是：有一个背包，能盛放的物品总重量为S,设有N件物品，其重量分别为w1，w2，…，wn，希望从N件物品中选择若干物品，所选物品的重量之和恰能放进该背包，即所选物品的重量之和即是S。递归和非递归解法都能求得“背包题目”的一组解，试写出“背包题目”的非递归解法

分析：

(1)递归解法直接用回溯就可以了，我们看代码：

// 回溯void backTracking(int depth, int maxDepth, vector<int> temp, vector<int> vec, const int &S){if(depth == maxDepth){    // 递归结束int sum = 0;vector<int> tmp;for(int i = 0; i < maxDepth; i++){if(temp[i] == 1){sum += vec[i];tmp.push_back(i);}}if(sum == S)result.push_back(tmp);return;}backTracking(depth+1, maxDepth, temp, vec, S);    // 没有取depth的元素时的递归temp[depth]=1;backTracking(depth+1, maxDepth, temp, vec, S);   // 取depth的元素时的递归}

(2)非递归求出所有的解，我们可以采用位操作：

// 找出所有的解void package(vector<int> vec, int S){int n = vec.size();int s = 1 << n;for(int i = 1; i < s; i++){int sum = 0;vector<int> temp;for(int j = 0; j < n; j++){if((i & (1<<j)) != 0){ sum += vec[j];temp.push_back(j);}}if(sum == S) result.push_back(temp);}}

但时间复杂度较高为O(s*2^n)

(3

动态规划求一组解，我们用f[i][j]用来表示前i件物品随意选择一些物品能够恰好装满容量为j的背包的可行性=1，不可行则为0；如果j < v[i]:f[i][j] = f[i-1][j] ，表示第i个物品的重量已经超过最大重量j了，则结果变为了前i-1件物品能否恰好装入容量为j的背包的可行性即等于f[i-1][j]；

如果j>=v[i]，此时就可以选择装或者不装第i件物品了，如果装入，则它的可行性就变为了前i-1前物品是否能恰好装入j-vec[i]容量的背包中可行性了；选择不装，则它的可行性变为了前i-1物品能否恰好装入容量为j的背包中可行性了，两者有一个可行，表明前i件物品就能恰好装入容量为j的背包中。f[i][j] = f[i-1][j]||f[i-1][j-vec[i]]

初始化：f[i][0]=1(i=0,1,2,,..n) 其它的f[i][j]都等于0

找出最终的一组解，用回溯就可以了。如果存在可行解，那么f[n][S]一定为1

代码：

// f[i][j]用来表示前i件物品随意选择一些物品能够恰好装满j的可行性=1，不可行则为0，// 如果j < v[i]:f[i][j] = f[i-1][j]  表示肯定不能取第i件物品了，那么就变为i-1件能否恰好装入容量为j的背包的可行性了。//  否则，f[i][j] = f[i-1][j]||f[i-1][j-v[i]]  表示装第i件物品,问题变为前i-1件物品是否能恰好装进j-vec[i]中的可行性或者不装第i件物品，则问题变为前i-1件能否恰好装入容量为j的背包的可行性f[i-1][j]，相或即为结果// 初始化，除了f[0][j]为1，其余全部0// 最终的结果f[n][S]为1表明存在一组解使得n解物品肯定能恰好装满容量为j的背包void packageInteration(vector<int> vec, int S){int n = vec.size();int **f = new int*[n+1];for(int i = 0; i < n+1; i++){f[i] = new int[S+1];memset(f[i], 0, sizeof(f[i])*(S+1));}for(int i = 0; i < n+1; i++)f[i][0] = 1;   // 初始化for(int i = 1; i < n+1; i++){for(int j = 1; j < S+1; j++){if(j >= vec[i-1])f[i][j] = (f[i-1][j] || f[i-1][j-vec[i-1]]);else f[i][j] = f[i-1][j];}}for(int i = 1; i < n+1; i++){for(int j = 1; j < S+1; j++){cout << f[i][j] << " ";}cout << endl;}// 回溯求结果int j = S;for(int i = n; i > 0; i--){if(j >= vec[i-1]){if(f[i][j-vec[i-1]] == 1){   // 为0 表示可行res.push_back(i);j = j - vec[i-1];}}}}