数组中求第K大数

问题：有一个大小为n的数组A[0,1,2,…,n-1]，求其中第k大的数。

该问题是一个经典的问题，在《算法导论》中被作为单独的一节提出，而且其解决方法很好的利用了分治的思想，将时间复杂度控制在了O(n)，这多少出乎我们的意料，此处暂且不表。

该问题还可以变形为：有一个大小为 n的数组A[0,1,2,…,n-1]，求其中前k大的数。

一字之差，原问题是“第k大”，变形的问题是“前k大”，但是平均时间复杂度却都可以控制在O(n)，这不由得让人暗暗称奇。

 

我们先分析原问题：有一个大小为 n的数组A[0,1,2,…,n-1]，求其中第k大的数。

我们先取特例，令k=1，那么就是取最大的数，只要扫描一遍数组就可以确定该值，如果k=2，则扫描两边数组就可以确定第二大的数，依此类推下去，时间复杂度是O(k*n)，如果k跟n是一个数量级，那么时间复杂度就是O(n*n)了，显然不是最优的解法。

 

考虑分治法，难点在于如何将该问题分解为两个子问题。

快速排序最基础的一步：

       随机取某一个数x，将其与数组末尾元素交换，然后将比其小的数交换至前，比其大的数交换至后。

这一步使某一数组的快速排序问题分解成两个子数组的排序问题，现在我们就依此来解决取第k大的数这个问题。

设数组下表从0开始，至n-1结束。

1、 随机取某个数，将其与数组末尾元素交换。

a)        idx=rand(0,n-1);生成[0,n-1]间的随机数。

b)        Swap(array[idx], array[n-1]);

2、 用末尾元素x，将比x小的数交换至前，比x大的数交换至后，并返回此时x在数组中的位置mid。

3、 如果mid==n-k，那么返回该值，这就是第k大的数。

如果mid>n-k，那么第k大的数在左半数组，且在左半数组中是第k-(n-mid)大的数。

如果mid<n-k，那么第k大的数在右半数组，而且仍然是第k的数。

方法一：

方法二：

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1. #include "iostream"  
2. using namespace std;  
3.   
4. int random_partion(int *p, int n)  
5. {  
6.      int idx=rand()%n;  
7.      swap(p[idx], p[n-1]);  
8.      int i=-1;    //i表示最后一个小于p[n-1]的元素的位置  
9.      int j=0;     //j用来扫描数组  
10.      for(j=0; j<n; j++)  
11.      {  
12.             //将小于p[n-1]的数交换到前半部分  
13.             if(p[j]<p[n-1])  
14.             {  
15.                 swap(p[++i], p[j]);  
16.             }  
17.      }  
18.      swap(p[++i], p[n-1]);  
19.      return i;   
20. }  
21.   
22. int getMaxK(int *p, int n, int k)  
23. {  
24.     int mid;  
25.      if(k<=0)  
26.             return -1;  
27.      if(n<k)  
28.             return -1;  
29.      mid=random_partion(p, n);   //对原数组进行一次划分  
30.      if(mid == n-k)      //如果mid==n-k，那么返回该值，这就是第k大的数  
31.          return p[mid];  
32.      else if(mid<n-k)  
33.          return getMaxK(p+mid+1, n-mid-1, k);  //如果mid<n-k，那么第k大的数在右半数组，而且仍然是第k大数  
34.      else  
35.          return getMaxK(p, mid, k-(n-mid));   //如果mid>n-k，那么第k大的数在左半数组，且在左半数组中是第k-(n-mid)大的数  
36. }  
37.   
38. int main(void)  
39. {  
40.     int num,a[] = {12012, 3, 945, 965, 66, 232, 65, 7, 8, 898, 56, 878, 170, 13, 5};  
41.     num=getMaxK(a, 15, 4);  
42.     printf("%d\n",num);  
43.     system("pause");  
44.     return 0;  
45. }