POJ读书笔记6.1 - 约瑟夫问题 2746

http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/39271139

问题描述：

约瑟夫生死问题的描述有三：

【其一】据说著名犹太历史学家Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus和他的朋友并不想遵从，Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

【其二】17世纪的法国数学家加斯帕在《数目的游戏问题》中讲了这样一个故事：15个教徒和15个非教徒在深海上遇险，必须将一半的人投入海中，其余的人才能幸免于难，于是想了一个办法：30个人围成一圆圈，从第一个人开始依次报数，每数到第九个人就将他扔入大海，如此循环进行直到仅余15个人为止。问怎样排法，才能使每次投入大海的都是非教徒。

【其三】个人，编号，从0开始报数，报到的退出，通常取。剩下的人继续从0开始报数，报到的退出，如此往复。求最终胜利者的编号。

 

解决算法：

循环链表算法原理：

题目中个人围成一圈，因而启发我们用一个循环的链来表示。可以使用结构数组来构成一个循环链。结构中有两个成员，其一为指向下一个节点的指针，以构成环形的链；其二为该节点在最初环中的序号标记。从第一个节点处开始计数，每数到时，将当前节点删除，表示该人已被扔下海了。这样循环计数直到有最后一个节点为止。

顺序表算法原理：

为了节省空间复杂度，采用线性表来实现。以动态数组元素代替循环链表节点的算法实现。考虑：动态数组的申请、使用、回收三原则。用个元素数组来存放结果，初始化全为1，如果这个人被丢到海里了，就把对应位置的元素置为0；用一个变量依次对数组里不为0的元素计数，数到则把对应位置的数组元素置0。循环控制可以用取余预算实现。

低复杂度算法原理：

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(mn)。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。稍微改变问题描述：n个人，编号0~n-1，从0开始报数，报到m-1的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人，编号一定是(m-1)%n，出列之后，剩下的n - 1个人组成了一个新的约瑟夫环，以编号为k  = m%n的人开始，并且从开始报0。

把编号做一下转换：

                

变换后就完完全全成为了n - 1个人报数的子问题，那么根据上面这个表把这个变回去则刚好就是n个人情况的解。（如果一个人在n-1时的报数为x，则他在n时的报数为x’）

x' = (x + k) % n

如何知道n个人报数的问题的解？只要知道n-1个人的解就行了。n-1个人的解？当然是先求n-2的情况。这显然就是一个倒推问题。

令表示个人玩游戏报退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]。

递推公式

         

code:

/*数组算法(有删除元素)O(mn)*/static int jonseArray(int n, int m) {int *jones = new int[n];for(int i=0; i<n; i++)jones[i]=i+1;int t=0;for(int left=n; left>=1; left--) {//剩余人数t=(t+m-1)%left;//将要除去的编号//printf("%d ", jones[t]);for(int j=t+1; j<=left-1; j++)jones[j-1]=jones[j];}return jones[0];}

/*数组算法(无删除元素)O(mn)*/static int jonseArray2(int n, int m){int *a = (int *)malloc(sizeof(int) * n);for(int i = 0; i < n; i++)a[i] = 1;int current = 0;for(int lose_cnt = 0; lose_cnt < n - 1; lose_cnt++){int call_num = 1;//重新报数while(call_num < m){current = (current + 1) % n;while(a[current] == 0)//跳过已划出的current = (current + 1) % n;call_num++;}a[current] = 0;//划出一个current = (current + 1) % n;//current指向下一个while(a[current] == 0)current = (current + 1) % n;}for(int i = 0; i < n; i++){if(a[i] == 1)return i + 1;}}/*数组算法(无删除元素)O(mn)*/static int jonseArray3(int n,int m){int a[300];for(int i=0;i<n;i++)a[i]=1;int i = 0, j = 0, k = 0;while(k!=n-1){if(a[i]==1){j=j+1;if(j==m){a[i]=0;k++;j=0;}}i = (i + 1) % n;}for(int i=0;i<n;i++){if(a[i]==1)return i + 1;}}

/*链表算法（双循环链表）O(mn)*/typedef struct jonseNode{int code;//编号(从0开始)struct jonseNode *next;struct jonseNode *pre;}jonseNode;static int jonseList(int n, int m){jonseNode *jonseMaxNum;//最大code值的点作为头结点assert(jonseMaxNum = (jonseNode *)malloc(sizeof(jonseNode)));jonseMaxNum->code = n - 1;jonseMaxNum->next = jonseMaxNum;jonseMaxNum->pre = jonseMaxNum;for(int i = n - 2; i >= 0; i--){//头插法插入其它结点jonseNode * jonseI;assert(jonseI = (jonseNode *)malloc(sizeof(jonseNode)));jonseI->code = i;jonseI->next = jonseMaxNum->next;jonseMaxNum->next = jonseI;}jonseNode *current_pre = jonseMaxNum;jonseNode *current;for(int i = 1; i <= n - 1; i++){//每次除去一个，共除去n-1个int call_num = 1;current = current_pre->next;while(call_num++ < m){current_pre = current;current = current->next;}current_pre->next = current->next;//printf("%d\n", current->code);free(current);}return current_pre->code + 1;}

/*最优算法（低复杂度算法）*/static int jonseOptimal(int n, int m){int final = 0;for(int total = 2; total <= n; total++)//total个人时的winner为finalfinal = (final + m) % total;return final + 1;}

测试：

/****************************************************************************//*POJ读书笔记6.1 - 约瑟夫问题 2746皮皮 2014-9-14*//****************************************************************************/#include <assert.h>#include <stdio.h>#include <malloc.h>#include <string.h>int main(){int n, m;//assert(freopen("simulation\\Jonse.in", "r", stdin));while(1){scanf("%d%d", &n, &m);if(n == 0 && m == 0)break;printf("%d\n", jonseArray(n, m));}printf("\n");//assert(freopen("simulation\\Jonse.in", "r", stdin));while(1){scanf("%d%d", &n, &m);if(n == 0 && m == 0)break;printf("%d\n", jonseArray2(n, m));}printf("\n");//assert(freopen("simulation\\Jonse.in", "r", stdin));while(1){scanf("%d%d", &n, &m);if(n == 0 && m == 0)break;printf("%d\n", jonseArray3(n, m));}printf("\n");//assert(freopen("simulation\\Jonse.in", "r", stdin));while(1){scanf("%d%d", &n, &m);if(n == 0 && m == 0)break;printf("%d\n", jonseList(n, m));}printf("\n");assert(freopen("simulation\\Jonse.in", "r", stdin));while(1){scanf("%d%d", &n, &m);if(n == 0 && m == 0)break;printf("%d\n", jonseOptimal(n, m));}printf("\n");fclose(stdin);return 0;}

测试案例：

5 3
6 2
12 4
8 3
0 0


output:
4
5
1
7

ps:问题可见于 poj2746

from:

http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/39271139