POJ1664：放苹果（整数划分）

Description

把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。

Input

第一行是测试数据的数目t（0 <= t <= 20）。以下每行均包含二个整数M和N，以空格分开。1<=M，N<=10。

Output

对输入的每组数据M和N，用一行输出相应的K。

Sample Input

17 3

Sample Output

8

诶，明明放弃了，但还是.....不说了

推出递推式还是费了挺长时间的，弱成渣

入正题：就是一道整数划分问题

首先，很容易发现是存在递推关系的题目，然后就是慢慢地发现以下关系：

        令f(m,n)表示：m个苹果由总数目不大于n的盘子中的苹果相加所得 的方案数。
1.当m<n时，由于多出的盘子不会对方案数目造成影响，则有f(m,n)=f(m,m)

2.当m=n时，会有两种分法 ①：每个盘子各一个，方案数目为1.  ②：有一个盘子不放，剩下的n-1个盘子放m个苹果，方案数f(m,n-1)

                                             即为方案数目：1+f(m,n-1)

3.当m>n时，也有两种分法 ①：每个盘子都先分一个，剩下的m-n个苹果再分到n个盘子里，方案数 f(m-n,n)

                                             ②：有一个盘子不放，剩下的n-1个盘子放m个苹果，方案数f(m,n-1)

                                             即为方案数目： f(m-n,n)+f(m,n-1)

注意：n或m为1时，即f(1,n)或f(m,1)算是1种方案，n或m少于1时，不存在方案。

其实认真观察一下就会发现情况2和3都是统一情况，但是n和m为1或0时都算是1方案。

递推的代码：

#include <stdio.h>int f(int m, int n){if (m < 1 || n < 1)return 0;if (m == 1 || n == 1)return 1;if (m > n)return  f(m, n - 1) + f(m - n, n);if (m == n)return f(m, n - 1) + 1;if (m < n)return f(m, m);}int main(){int m, n, t;scanf("%d", &t);while (t--){scanf("%d%d", &m, &n);printf("%d\n",f(m, n));}return 0;}

但是这样递归效率实在太低，不过题目数据量比较少还很好。

由于已经有了递推方程，所以可以用DP做一下

#include <stdio.h>#include <algorithm>using namespace std;int main(){int m, n, t;scanf("%d", &t);int dp[15][15];while (t--){memset(dp, 0, sizeof(dp));scanf("%d%d", &m, &n);for (int i = 1; i <= m; i++){for (int j = 1; j <= n; j++){if (i == 1 || j == 1)dp[i][j] = 1;else if (i > j)dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - j][j];else if (i == j)dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;elsedp[i][j] = dp[i][i];}}printf("%d\n", dp[m][n]);}return 0;}

我们再认真思考了一下，其实可以发现，数组可以由二维化为一维，即是使用数组压缩的方法

#include <stdio.h>#include <algorithm>using namespace std;int main(){int n, m, t;scanf("%d", &t);while (t--){scanf("%d%d", &m, &n);int dp[15] = { 1 };for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = i; j <= m; j++){dp[j] += dp[j - i];}}printf("%d\n", dp[m]);}return 0;}