POJ1664 放苹果

放苹果 

题目链接：http://bailian.openjudge.cn/practice/1664/

Description

把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。

Input

第一行是测试数据的数目t（0 <= t <= 20）。以下每行均包含二个整数M和N，以空格分开。1<=M，N<=10。

Output

对输入的每组数据M和N，用一行输出相应的K。

Sample Input

17 3

Sample Output

8

Source

lwx@POJ

 

解题思路：笔者对组合数学并不了解，见别人都说是组合数学题，那就归到这一类吧，这题的思想是找递归关系，我们不妨令f(m,n)表示m个苹果放到n个盘子里有多少种放法，下面对不同的情况给予讨论:

(1):当盘子数为1的时候，只有一种放法就是把所有苹果放到一个盘子里。

(2):当苹果数为1的时候，也只有一种放法，注意题目中说明，盘子之间并无顺序,所以不管这个苹果放在哪个盘子里，结果都算一个。

(3):当m<n时，因为此时最多只能放到m个盘子中去（一个里放一个），实际上就相当于把m个苹果放到m个盘子里一样，也就是f(m,m);

(4):当m==n时,此时分两种情况讨论，一种是一个盘子里放一个，只是一种，第二种是，至少有一个盘子里不放苹果这就相当于是f(m,m-1);

(5):当m>n时，也分两种情况讨论，一种是至少有一个盘子里不放苹果，这样子就相当于f(m,n-1),第二种是，先取出n个苹果一个盘子里放一个，再将剩下的m-n个苹果放到n个盘子里去，即f(m-n,n);

综上所述:

得到递归表达式：

f(m,n)=1 当 m=1或n=1；

f(m,n)=f(m,m) 当m<n;

f(m,n)=1+f(m,m-1) 当m=n;

f(m,n)=f(m-n,n)+f(m,n-1);

在递归的过程中采用记忆化搜索可以减少不必要的时间，算过的东西就不要再算了。

Code：

[c-sharp] view plaincopy

1. /* 
2. *C++ 
3. *JackyZheng 
4. *2010/12/2 
5. */  
6. #include<iostream>  
7. #include<cstring>  
8. using namespace std;  
9. int f[11][11];  
10.   
11. int PutApple(int m,int n)  
12. {  
13.     if(f[m][n])  
14.         return f[m][n];  
15.     else if(m==1||n==1)  
16.     {  
17.         f[m][n]=1;  
18.         return f[m][n];  
19.     }  
20.     else if(m<n)  
21.     {  
22.         f[m][n]=PutApple(m,m);  
23.         return f[m][n];  
24.     }  
25.     else if(m==n)  
26.     {  
27.         f[m][n]=1+PutApple(m,m-1);  
28.         return f[m][n];  
29.     }  
30.     else  
31.     {  
32.         f[m][n]=PutApple(m-n,n)+PutApple(m,n-1);  
33.         return f[m][n];  
34.     }  
35. }  
36.    
37. int main()  
38. {  
39.     int Case;  
40.     cin>>Case;  
41.     int m,n;  
42.     while(Case--)  
43.     {  
44.         memset(f,0,sizeof(f));  
45.         cin>>m>>n;  
46.         cout<<PutApple(m,n)<<endl;  
47.     }  
48.     return 0;  
49. }  
50.