最大堆的插入，删除和初始化

其实对照上面的代码，然后看下面部分的图示，这样理解起最大堆的操作来是很容易的啊

#include <stdio.h>

int CurrSize,MaxSize; //以下均假设数组第0个元素不使用

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插入：先插到最后面，然后循环地与父节点比较，在这个过程中

把元素一层层下移，直到找到合适的位置插入

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void HeapInsert(int h[],int x)

{

    int i;

    if(CurrSize == MaxSize) { printf("No Space!"); return; }

    for(i=CurrSize+1; i!=1 && x>h[i/2]; i/=2)

        h[i] = h[i/2];  //父节点下移

    h[i] = x; //插入 

    CurrSize++;

}

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删除：删除根节点，然后抽出最后一个节点，

从根位置开始往下找合适的位置插入

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int HeapDelete(int h[])

{

    int x = h[1]; //最大元素，即根

    //-------------重构堆---------------

    int y = h[CurrSize--]; //最后一个元素

    int i=1/*当前节点*/,pi=2/*i的孩子*/;

    while(pi <= CurrSize)

    {

        if(pi < CurrSize && h[pi] < h[pi+1])

            pi++; //若存在右孩子且右孩子较大，则pi指向右孩子

        //此时pi已指向i的孩子中较大者

        if(y >= h[pi]) break; //y可插入h[i]

        h[i] = h[pi]; //不可插入则上移较大孩子

        i = pi; pi = pi*2;  //继续往下做比较

    }

    h[i] = y;  //插入

    return x;  //返回删除的元素

}

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初始化：从最后一个有孩子的节点开始一直到根，对每一个有孩子的节点，

        都在以其为根的子树中寻找合适的位置插入，过程类似于删除

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void HeapInit(int h[],int cs,int ms)

{

    int i,y,pi;

    CurrSize = cs;  MaxSize = ms;

    for(i = CurrSize/2; i >= 1; i--)

    {

        y = h[i];  //子树的根

        pi = 2*i;  //其左孩子

        while(pi <= CurrSize) //一直往下寻找合适的位置

        {

            if(pi < CurrSize && h[pi] < h[pi+1])

                pi++; //若存在右孩子且右孩子较大，则pi指向右孩子

            //此时pi已指向i的孩子中较大者

            if(y >= h[pi]) break; //y可插入h[i]

            h[pi/2] = h[pi]; //不可插入则上移较大孩子

            pi = pi*2;  //继续往下做比较

        }

        h[pi/2] = y;  //插入

    }

}

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void main()

{

    int t,a[11] = {0,5,2,7,3,9,1,4,8};

    HeapInit(a,8,10); //初始化

    HeapInsert(a,6);  //插入

    for(i=1;i<=9;i++) //堆排序

    printf(" %d ",HeapDelete(a));  

}

堆有最大堆和最小堆之分，最大堆就是每个节点的值都>=其左右孩子（如果有的话）值的完全二叉树。最小堆便是每个节点的值都<=其左右孩子值的完全二叉树。 

  设有n个元素的序列{k1,k2,...,kn},当且仅当满足下列关系时,称之为堆。 
 

堆的三种基本操作(以下以最大堆为例)： 
⑴最大堆的插入   

    由于需要维持完全二叉树的形态，需要先将要插入的结点x放在最底层的最右边，插入后满 足完全二叉树的特点； 
  然后把x依次向上调整到合适位置满足堆的性质,例如下图中插入80,先将80放在最后,然后两次上浮到合适位置. 
  时间：O(logn)。  “结点上浮” 
 

程序实现: 

 //向最大堆中插入元素, heap:存放堆元素的数组    public static void insert(List<Integer> heap, int value) {        //在数组的尾部添加        if(heap.size()==0)          heap.add(0);//数组下标为0的位置不放元素        heap.add(value);         //开始上升操作        // heapUp2(heap, heap.size() - 1);         heapUp(heap, heap.size() - 1);      }      //上升，让插入的数和父节点的数值比较，当大于父节点的时候就和父节点的值相交换     public static void heapUp(List<Integer> heap, int index) {          //注意由于数值是从下标为1开始，当index = 1的时候，已经是根节点了         if (index > 1) {             //求出父亲的节点             int parent = index / 2;              //获取相应位置的数值             int parentValue = (Integer) heap.get(parent);             int indexValue = (Integer) heap.get(index);             //如果父亲节点比index的数值小，就交换二者的数值             if (parentValue < indexValue) {                 //交换数值                 swap(heap, parent, index);                 //递归调用                 heapUp(heap, parent);             }          }     } 

⑵删除 
   操作原理是：当删除节点的数值时，原来的位置就会出现一个孔,填充这个孔的方法就是， 
把最后的叶子的值赋给该孔并下调到合适位置，最后把该叶子删除。 
  
如图中要删除72,先用堆中最后一个元素来35替换72,再将35下沉到合适位置,最后将叶子节点删除。 
　　 “结点下沉” 

 

程序: /**     * 删除堆中位置是index处的节点     * 操作原理是：当删除节点的数值时，原来的位置就会出现一个孔     * 填充这个孔的方法就是，把最后的叶子的值赋给该孔，最后把该叶子删除     * @param heap      */     public static void delete(List<Integer> heap,int index) {         //把最后的一个叶子的数值赋值给index位置         heap.set(index, heap.get(heap.size() - 1));         //下沉操作         //heapDown2(heap, index);         heapDown(heap, index);         //把最后一个位置的数字删除         heap.remove(heap.size() - 1);     }     /**     * 递归实现     * 删除堆中一个数据的时候，根据堆的性质，应该把相应的位置下移，才能保持住堆性质不变     * @param heap 保持堆元素的数组     * @param index 被删除的那个节点的位置     */     public static void heapDown(List<Integer> heap, int index) {         //因为第一个位置存储的是空值，不在考虑之内         int n = heap.size() - 2;          //记录最大的那个儿子节点的位置         int child = -1;          //2*index>n说明该节点没有左右儿子节点了，那么就返回         if (2 * index > n) {             return;         } //如果左右儿子都存在         else if (2 * index < n) {              //定义左儿子节点             child = 2 * index;             //如果左儿子小于右儿子的数值，取右儿子的下标             if ((Integer) heap.get(child) < (Integer) heap.get(child + 1)) {                 child++;             }          }//如果只有一个儿子（左儿子节点）         else if (2 * index == n) {             child = 2 * index;         }          if ((Integer) heap.get(child) > (Integer) heap.get(index)) {             //交换堆中的child，和index位置的值             swap(heap, child, index);              //完成交换后递归调用，继续下降             heapDown(heap, child);         }     }  

⑶初始化 
方法1：插入法： 
  从空堆开始，依次插入每一个结点，直到所有的结点全部插入到堆为止。 
  时间：O(n*log(n)) 
  方法2：调整法： 
    序列对应一个完全二叉树；从最后一个分支结点（n div 2）开始，到根（1）为止，依次对每个分支结点进行调整（下沉），
以便形成以每个分支结点为根的堆，当最后对树根结点进行调整后，整个树就变成了一个堆。 
  时间：O(n) 
对如图的序列,要使其成为堆,我们从最后一个分支结点(10/2),其值为72开始,依次对每个分支节点53,18,36 45进行调整(下沉). 
 
 
 

程序:     /*根据树的性质建堆，树节点前一半一定是分支节点，即有孩子的，所以我们从这里开始调整出初始堆*/       public static void adjust(List<Integer> heap){        for (int i = heap.size() / 2; i > 0; i--)              adjust(heap,i, heap.size()-1);                    System.out.println("=================================================");        System.out.println("调整后的初始堆：");          print(heap);      }    /**      * 调整堆，使其满足堆得定义      * @param i      * @param n      */      public static void adjust(List<Integer> heap,int i, int n) {                 int child;          for (; i <= n / 2; ) {              child = i * 2;              if(child+1<=n&&heap.get(child)<heap.get(child+1))                  child+=1;/*使child指向值较大的孩子*/              if(heap.get(i)< heap.get(child)){                  swap(heap,i, child);                  /*交换后，以child为根的子树不一定满足堆定义，所以从child处开始调整*/                  i = child;                             }  else break;        }      }  

(4)最大堆排序  

 //对一个最大堆heap排序    public static void heapSort(List<Integer> heap) {                 for (int i = heap.size()-1; i > 0; i--) {           /*把根节点跟最后一个元素交换位置，调整剩下的n-1个节点，即可排好序*/              swap(heap,1, i);              adjust(heap,1, i - 1);          }      }  

(5)完整的代码 

import java.util.*;  /** *实现的最大堆的插入和删除操作 * @author Arthur */ public class Heap {      /**     * 删除堆中位置是index处的值     * 操作原理是：当删除节点的数值时，原来的位置就会出现一个孔     * 填充这个孔的方法就是，把最后的叶子的值赋给该孔，最后把该叶子删除     * @param heap 一个最大堆     */     public static void delete(List<Integer> heap,int index) {         //把最后的一个叶子的数值赋值给index位置         heap.set(index, heap.get(heap.size() - 1));         //下沉操作         //heapDown2(heap, index);         heapDown(heap, index); //节点下沉        //把最后一个位置的数字删除         heap.remove(heap.size() - 1);     }       /**      * 节点下沉递归实现     * 删除一个堆中一个数据的时候，根据堆的性质，应该把相应的位置下移，才能保持住堆性质不变     * @param heap 保持最大堆元素的数组     * @param index 被删除的那个节点的位置     */     public static void heapDown(List<Integer> heap, int index) {         //因为第一个位置存储的是空值，不在考虑之内         int n = heap.size() - 2;          //记录最大的那个儿子节点的位置         int child = -1;          //2*index>n说明该节点没有左右儿子节点了，那么就返回         if (2 * index > n) {             return;         } //如果左右儿子都存在         else if (2 * index < n) {              //定义左儿子节点             child = 2 * index;             //如果左儿子小于右儿子的数值，取右儿子的下标             if ((Integer) heap.get(child) < (Integer) heap.get(child + 1)) {                 child++;             }          }//如果只有一个儿子（左儿子节点）         else if (2 * index == n) {             child = 2 * index;         }          if ((Integer) heap.get(child) > (Integer) heap.get(index)) {             //交换堆中的child，和index位置的值             swap(heap, child, index);              //完成交换后递归调用，继续下降             heapDown(heap, child);         }     }      //非递归实现     public static void heapDown2(List<Integer> heap, int index) {         int child = 0;//存储左儿子的位置          int temp = (Integer) heap.get(index);         int n = heap.size() - 2;         //如果有儿子的话         for (; 2 * index <= n; index = child) {             //获取左儿子的位置             child = 2 * index;             //如果只有左儿子             if (child == n) {                 child = 2 * index;             } //如果右儿子比左儿子的数值大             else if ((Integer) heap.get(child) < (Integer) heap.get(child + 1)) {                 child++;             }              //如果数值最大的儿子比temp的值大             if ((Integer) heap.get(child) >temp) {                 //交换堆中的child，和index位置的值                 swap(heap, child, index);             } else {                 break;             }         }     }           //打印链表     public static void print(List<Integer> list) {         for (int i = 1; i < list.size(); i++) {             System.out.print(list.get(i) + " ");         }         System.out.println();    }      //把堆中的a,b位置的值互换     public static void swap(List<Integer> heap, int a, int b) {         //临时存储child位置的值         int temp = (Integer) heap.get(a);          //把index的值赋给child的位置         heap.set(a, heap.get(b));          //把原来的child位置的数值赋值给index位置         heap.set(b, temp);     }      //向最大堆中插入元素     public static void insert(List<Integer> heap, int value) {            //在数组的尾部添加要插入的元素        if(heap.size()==0)          heap.add(0);//数组下标为0的位置不放元素        heap.add(value);         //开始上升操作        // heapUp2(heap, heap.size() - 1);         heapUp(heap, heap.size() - 1);      }      //节点上浮，让插入的数和父节点的数值比较，当大于父节点的时候就和节点的值相交换     public static void heapUp(List<Integer> heap, int index) {          //注意由于数值是从小标为一开始，当index = 1的时候，已经是根节点了         if (index > 1) {             //保存父亲的节点             int parent = index / 2;              //获取相应位置的数值             int parentValue = (Integer) heap.get(parent);             int indexValue = (Integer) heap.get(index);             //如果父亲节点比index的数值小，就交换二者的数值             if (parentValue < indexValue) {                 //交换数值                 swap(heap, parent, index);                 //递归调用                 heapUp(heap, parent);             }          }     }      //非递归实现     public static void heapUp2(List<Integer> heap, int index) {         int parent = 0;         for (; index > 1; index /= 2) {             //获取index的父节点的下标             parent = index / 2;              //获得父节点的值             int parentValue = (Integer) heap.get(parent);             //获得index位置的值             int indexValue = (Integer) heap.get(index);                          //如果小于就交换             if (parentValue < indexValue) {                 swap(heap, parent, index);             }         }     }      /*根据树的性质建堆，树节点前一半一定是分支节点，即有孩子的，所以我们从这里开始调整出初始堆*/       public static void adjust(List<Integer> heap){        for (int i = heap.size() / 2; i > 0; i--)              adjust(heap,i, heap.size()-1);                    System.out.println("=================================================");        System.out.println("调整后的初始堆：");          print(heap);      }    /**      * 调整堆，使其满足堆得定义      * @param i      * @param n      */      public static void adjust(List<Integer> heap,int i, int n) {                 int child;          for (; i <= n / 2; ) {              child = i * 2;              if(child+1<=n&&heap.get(child)<heap.get(child+1))                  child+=1;/*使child指向值较大的孩子*/              if(heap.get(i)< heap.get(child)){                  swap(heap,i, child);                  /*交换后，以child为根的子树不一定满足堆定义，所以从child处开始调整*/                  i = child;                             }  else break;        }      }       //对一个最大堆heap排序    public static void heapSort(List<Integer> heap) {                 for (int i = heap.size()-1; i > 0; i--) {          /*把根节点跟最后一个元素交换位置，调整剩下的n-1个节点，即可排好序*/              swap(heap,1, i);              adjust(heap,1, i - 1);          }      }     public static void main(String args[]) {         List<Integer> array = new ArrayList<Integer>(Arrays.asList(null, 1, 2, 5, 10, 3, 7, 11, 15, 17, 20, 9, 15, 8, 16));        adjust(array);//调整使array成为最大堆               delete(array,8);//堆中删除下标是8的元素        System.out.println("删除后");        print(array);        insert(array, 99);//堆中插入        print(array);         heapSort(array);//排序        System.out.println("将堆排序后:");        print(array);        System.out.println("-------------------------");        List<Integer> array1=new ArrayList<Integer>();        insert(array1,0);        insert(array1, 1);insert(array1, 2);insert(array1, 5);        insert(array1, 10);insert(array1, 3);insert(array1, 7);        insert(array1, 11);insert(array1, 15); insert(array1, 17);        insert(array1, 20);insert(array1, 9);        insert(array1, 15);insert(array1, 8);insert(array1, 16);        print(array1);                System.out.println("==============================");        array=new ArrayList<Integer>(Arrays.asList(null,45,36,18,53,72,30,48,93,15,35));        adjust(array);          insert(array, 80);//堆中插入          print(array);         delete(array,2);//堆中删除80的元素         print(array);         delete(array,2);//堆中删除72的元素         print(array);                  } } 

程序运行: 
D:\java>java   Heap 
================================================= 
调整后的初始堆： 
20 17 16 15 9 15 11 1 10 3 2 7 8 5 
删除后 
20 17 16 15 9 15 11 5 10 3 2 7 8 
99 17 20 15 9 15 16 5 10 3 2 7 8 11 
将堆排序后: 
2 3 5 7 8 9 10 11 15 15 16 17 20 99 
------------------------- 
20 17 16 10 15 9 15 0 5 2 11 1 7 3 8 
============================== 
================================================= 
调整后的初始堆： 
93 72 48 53 45 30 18 36 15 35 
93 80 48 53 72 30 18 36 15 35 45 
93 72 48 53 45 30 18 36 15 35 
93 53 48 36 45 30 18 35 15