判断点是否在三角形内

概述：

给定三角形ABC和一点P(x,y,z)，判断点P是否在ABC内。这是游戏设计中一个常见的问题。需要注意的是，这里假定点和三角形位于同一个平面内。

本文介绍三种不同的方法，由浅入深

一内角和法

连接点P和三角形的三个顶点得到三条线段PA，PB和PC，求出这三条线段与三角形各边的夹角，如果所有夹角之和为180度，那么点P在三角形内，否则不在，此法直观，但效率低下。

二 同向法

假设点P位于三角形内，会有这样一个规律，当我们沿着ABCA的方向在三条边上行走时，你会发现点P始终位于边AB，BC和CA的右侧。我们就利用这一点，但是如何判断一个点在线段的左侧还是右侧呢？我们可以从另一个角度来思考，当选定线段AB时，点C位于AB的右侧，同理选定BC时，点A位于BC的右侧，最后选定CA时，点B位于CA的右侧，所以当选择某一条边时，我们只需验证点P与该边所对的点在同一侧即可。问题又来了，如何判断两个点在某条线段的同一侧呢？可以通过叉积来实现，连接PA，将PA和AB做叉积，再将CA和AB做叉积，如果两个叉积的结果方向一致，那么两个点在同一测。判断两个向量的是否同向可以用点积实现，如果点积大于0，则两向量夹角是锐角，否则是钝角。

三 重心法

上面这个方法简单易懂，速度也快，下面这个方法速度更快，只是稍微多了一点数学而已

三角形的三个点在同一个平面上，如果选中其中一个点，其他两个点不过是相对该点的位移而已，比如选择点A作为起点，那么点B相当于在AB方向移动一段距离得到，而点C相当于在AC方向移动一段距离得到。

把向量AP用向量AB和向量AC表示为AP=vAB +uAC。

如果系数u或v为负值，那么相当于朝相反的方向移动，即BA或CA方向。那么如果想让P位于三角形ABC内部，u和v必须满足什么条件呢？有如下三个条件

u >= 0

v >= 0

u + v <= 1（u+v=1时点P在线段AB上）

几个边界情况，当u = 0且v = 0时，就是点A，当u = 0,v = 1时，就是点B，而当u = 1, v = 0时，就是点C。

设AP=[xp,yp]    AB=[x1,y1]    AC = [x2, y2]

则有关于u,v的二元一次方程组：

        xp = u x1 + v x2

        yp = u y1 + v y2

易解得u= (xpy2-x2yp)/(x1y2-x2y1)   v=(x1yp-xpy1)/(x1y2-x2y1)

完整介绍和相应的代码请参见原文。

原文链接http://www.cnblogs.com/graphics/archive/2010/08/05/1793393.html

四 相交法

如下图所示，分别为点在三角形内和三角形外的情形：

当点在三角形内时，其与三角形三个顶点的连接线（图中的虚线）将分别与顶点的对边线段有且仅有一个交点，而在三角形外的点则没有这条性质！

相应的代码请大家自己写吧....