最长公共子序列

问题描述：

字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列<i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；

（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；

（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

求解：

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。

我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

求解：

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。 
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

问题的递归式写成：

回溯输出最长公共子序列过程：

//最长公共子序列//采用动态规划求解//...#include <iostream>#include <string>#include <algorithm>#define CIRI_(i, a) for(int i = 0; i <= a; ++i) #define CIRJ_(j, b) for(int j = 0; j <= b; ++j)const int MAXN = 100;int C[MAXN][MAXN], B[MAXN][MAXN];int M, N;char s1[MAXN], s2[MAXN];using namespace std;void Print_(int b[][MAXN], int x, int y){if(x == 0|| y == 0) return;if(b[x][y] == 0){Print_(b, x-1, y-1);cout<<s1[x-1];}else if(b[x][y] == 1){Print_(b, x-1, y);}else {Print_(b, x, y-1);}}int main(){//freopen("F:\\input.txt", "r", stdin);cin>>M>>N;cin>>s1>>s2;CIRI_(i, M)CIRJ_(j, N){C[i][0] = 0;C[0][j] = 0;}for(int i = 1; i <= M; ++i){for(int j = 1; j <= N; ++j){if(s1[i-1] == s2[j-1]){ C[i][j] = C[i-1][j-1] + 1; B[i][j] = 0;}else if(C[i-1][j] >= C[i][j-1]){ C[i][j] = C[i-1][j]; B[i][j] = 1;}else{ C[i][j] = C[i][j-1]; B[i][j] = -1;}}}CIRI_(i, M)CIRJ_(j, N){cout<<C[i][j];if((j+1)%(N+1) == 0) cout<< endl;}//cout<< "****************"<<endl;CIRI_(i, M)CIRJ_(j, N){cout<<B[i][j];if((j+1)%(N+1) == 0) cout<< endl;}Print_(B, M, N);return 0;}