关于IEEE754 规格数与非规格数的探讨 | IEEE 754-1985 IEEE 754-2008

权威：

http://docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_math.html

维基百科： 

http://en.wikipedia.org/wiki/Single-precision_floating-point_format

http://en.wikipedia.org/wiki/Double-precision_floating-point_format

http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=IEEE_754&oldid=32785022

底层硬件其实有两种编码形式：

规格数: 这个编码速度高（相对于非规格数的硬件实现），由于前置为1，貌似有效位更高；但是如果纯粹采用规格数，会有一个问题：
单精度浮点数的绝对值下，最小规格数（2^(-126)）与零(例如正零 2^(-127))的差值为2^(-126) - 2^(-127) = 2^(-127)，而最小规格数与次小规格数之间的距离为2^(-126-23)，精度上相差2^22，这就称之为突然式下溢出（abrupt underflow）。
非规格数是Intel的逆袭方案，其实针对DEC公司的，这种方案可以让零与最小非规格数之间的距离为2^(-127)，就不会出现这种间断了。

两种方案之水火

我一开始认为，非规格数与规格数是两种竞争方案，或者在IEEE-754-1985里面是？至少在IEEE-754-2008里面，非规格数(denormal number)改名为subnormal number（从名字上，被规格数收编了），总体上还是采取规格数方案，但在接近零的数（最小规格数与零之间），采用非规格数。
可以认为，这两个方案携手合作，相互相承。

两种方式的统一编码

那么，在一个二进制串里面，怎让才知道这是哪一个编码？
如果指数部分为零（编码上为零，若为单精度浮点数，则为-127），有两种情况：
A. 有效数字串为零，这就是浮点数的零了。接下来，按照规格化的解释，那么加上隐藏的首位1，这个零是： 2^-127
B. 如果有效数字串不为零，我们采用非规格化解释。这个时候，注意，指数不是2^-127，而解释为2^-126，没有了隐藏的首位1了，有效字串是什么就是什么，如果是二进制串"11111"，那么就被解释成 0.11111。单精度下，有效字串最小为0..01(前面有22个零)，因此，绝对值意义下，最小的非规格化浮点数位2^（-23 - 126），一下子弥补了突然式下溢出的问题。

写到这里，我越来越觉得维基百科里面关于非规格化有两套表述：第一套表述应该是采用非规格化来表示所有浮点数；另一套描述则是采用非规格化来填补绝对值意义下最小规格化浮点数与零之间的空隙。

浮点编码的特点

写到这里，我同时感觉到，除了零以外，实际上，对于规格化浮点数，每次指数往上升1的前后，它的数之间差值就上升了1倍。例如：设A = 00 * 2^-3 = 1.00 * 2^-3
设B = 11 * 2^-4 = 1.11 * 2^-4 
A与B两个数相邻，差值为0.01 * 2^-4 = 2^-6
设C = 01 * 2^-3 = 1.01 * 2^-3


C与A两个数相邻，差值为0.01 * 2^-3 = 2^-5
A前后，相邻两个数的差值为2倍。

这个问题对于非规格数也同样存在。貌似指数只要存在，这个问题就不可避免。

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欢迎探讨。

Regards,

Junhao Li

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