蓄水池问题分析证明

这几天一直在讨论面试的问题，今天小伙伴们提到了微软面试的蓄水池问题，问题描述是这个样子的：

有1,2,...,n。 n个数据依次传过来，现在给你一次机会读取数据，你该以什么策略读，才能保证每个数据被读到的可能性是一样的？

问题的难点在于后面数据的不可知性，如果一次把n个数据全部获得，那么我们只需要简单的生成一个1-n的随机数，然后根据这个随机数取对应的元素即可。

但是现在数据一个一个到来，对于每一个数据都应该以某种策略决定取舍，保证不论当前来了多少个数据，这之前的数据（包含该数据）被读取的概率都是均等的。

基本的策略就是第i个数据到来时，总以1/i 的概率读取他。下面证明这种方法的正确性：

采用数学归纳法，从后向前证明，首先考察第n个元素，当他到来时，我们以1/n 的概率读取他，因此最终读取到的数据有1/n 的可能是n，1-1/n的概率是其他值。符合题目要求。那么考察第n-1个元素，当第n-1个元素到来时，我们必须要读取他，最后n个数据传完后，我们读到的数据才有可能是n-1。注意是有可能而已，因为若第n个数据到来，且我们读取了的话，那么最后的结果就不是n-1了，而是n，因此最后结果是n-1的概率是1/(n-1) * (1-1/n)，即1/n。同理，第n-2个数据被最终显示的概率为1/(n-2) * (1- 1/(n-1)) * (1-1/n)，即1/n。以此类推，得证。

该问题还有一个衍生，还是n个数据，现在有一个容量为k的池（k<=n），要保证所有数据被加入到池中的概率都是一样的。

分析可以知道，n个元素等概取k个，那么每个元素被取到的概率都是k/n。那么我们还是采用如下策略：

当第k个数据到来时，我们以k/i 的概率将它添加到池中，下面证明每个数据被加入池中的概率都是k/n。

考察第n个元素，当他到来事，我们以k/n的概率把他添加到池中，这样做了之后，池中一定有n，符合题目要求

那么当第n-1个元素到来时，首先我们必须要把他添加到池中，他最后才有可能出现在池中，前提是后面的元素到来时没有把他替换。那么添加n-1的概率是k/(n-1)，然后第n个元素到来时不添加到池，或者添加进池但不替换n-1，这个和事件即为P，那么P的补集就是n添加进池且替换n-1 (~~~1/k的概率~~~)，那么这个事件的概率是(k/n) * (1/k)。因此n-1最终出现在池中的概率为k/(n-1) * （1- (k/n) * (1/k)），即k/n。第n-2个元素最终出现在池中的概率是 k/(n-2) * {1-[k/(n-1)*(1/k) + (1-k/(n-1)*(1/k) ) * (k/n) * (1/k)]}，即k/n。以此类推，得证。

PS：前k个元素到来时，k/i 是大于1的，这时就以概率1添加即可。

严格的数学归纳法：当第k个数据到来时，以概率1添加，这时1-k中所有元素在池中的概率都是1，即k/k，满足题目要求；

假设第n-1数据处理完毕后，1至n-1这n-1个元素被添加到池的概率是等概的，即都是k/(n-1)，下面需要证明n元素到来并处理后，1-n这些元素出现在池中的概率是k/n。

证明如下：

1-n分为两部分：1至n-1，和n，设i为1~n-1中任意一数，那么n处理后他出现在池中的概率是k/(n-1) * (1 - k/n * (1/k)) = k/n

对于n，显然处理后他出现在池中的概率也是k/n。

故得证~~