判断点是否在三角形内部

2010-08-07

给定三角形ABC和一点P(x,y,z)，判断点P是否在ABC内。这是游戏设计中一个常见的问题。需要注意的是，这里假定点和三角形位于同一个平面内。

内角和法

连接点P和三角形的三个顶点得到三条线段PA，PB和PC，求出这三条线段与三角形各边的夹角，如果所有夹角之和为360度，那么点P在三角形内，否则不在，此法直观，但效率低下。

同向法

假设点P位于三角形内，会有这样一个规律，当我们沿着ABCA的方向在三条边上行走时，你会发现点P始终位于边AB，BC和CA的右侧。我们就利用这一点，但是如何判断一个点在线段的左侧还是右侧呢？我们可以从另一个角度来思考，当选定线段AB时，点C位于AB的右侧，同理选定BC时，点A位于BC的右侧，最后选定CA时，点B位于CA的右侧，所以当选择某一条边时，我们只需验证点P与该边所对的点在同一侧即可。问题又来了，如何判断两个点在某条线段的同一侧呢？可以通过叉积来实现，连接PA，将PA和AB做叉积，再将CA和AB做叉积，如果两个叉积的结果方向一致，那么两个点在同一测。判断两个向量的是否同向可以用点积实现，如果点积大于0，则两向量夹角是锐角，否则是钝角。

代码如下，为了实现程序功能，添加了一个Vector3类，该类表示三维空间中的一个向量。

01// 3D vector

02class Vector3

03{

04public:

05    Vector3(float fx, float fy, float fz)

06        :x(fx), y(fy), z(fz)

07    {

08 

09    }

10 

11     

12    // Subtract

13    Vector3 operator - (const Vector3& v) const

14    {

15        return Vector3(x - v.x, y - v.y, z - v.z) ;

16    }

17 

18     

19    // Dot product

20    float Dot(const Vector3& v) const

21    {

22        return x * v.x + y * v.y + z * v.z ;

23    }

24 

25     

26    // Cross product

27    Vector3 Cross(const Vector3& v) const

28    {

29        return Vector3(

30            y * v.z - z * v.y,

31            z * v.x - x * v.z,

32            x * v.y - y * v.x ) ;

33    }

34 

35 

36public:

37    float x, y, z ;

38};

39 

40 

41// Determine whether two vectors v1 and v2 point to the same direction

42// v1 = Cross(AB, AC)

43// v2 = Cross(AB, AP)

44bool SameSide(Vector3 A, Vector3 B, Vector3 C, Vector3 P)

45{

46    Vector3 AB = B - A ;

47    Vector3 AC = C - A ;

48    Vector3 AP = P - A ;

49 

50 

51    Vector3 v1 = AB.Cross(AC) ;

52    Vector3 v2 = AB.Cross(AP) ;

53 

54 

55 

56    // v1 and v2 should point to the same direction

57    return v1.Dot(v2) >= 0 ;

58}

59 

60 

61// Same side method

62// Determine whether point P in triangle ABC

63bool PointinTriangle1(Vector3 A, Vector3 B, Vector3 C, Vector3 P)

64{

65    return SameSide(A, B, C, P) &&

66        SameSide(B, C, A, P) &&

67        SameSide(C, A, B, P) ;

68}

重心法

上面这个方法简单易懂，速度也快，下面这个方法速度更快，只是稍微多了一点数学而已

三角形的三个点在同一个平面上，如果选中其中一个点，其他两个点不过是相对该点的位移而已，比如选择点A作为起点，那么点B相当于在AB方向移动一段距离得到，而点C相当于在AC方向移动一段距离得到。

所以对于平面内任意一点，都可以由如下方程来表示：

P = A + u * (C – A) + v * (B - A) // 方程1

如果系数u或v为负值，那么相当于朝相反的方向移动，即BA或CA方向。那么如果想让P位于三角形ABC内部，u和v必须满足什么条件呢？有如下三个条件：

1u >= 0

2v >= 0

3u + v <= 1

几个边界情况，当u = 0且v = 0时，就是点A，当u = 0,v = 1时，就是点B，而当u = 1, v = 0时，就是点C。

整理方程1得到P – A = u(C - A) + v(B - A)。

令v0 = C – A, v1 = B – A, v2 = P – A，则v2 = u * v0 + v * v1，现在是一个方程，两个未知数，无法解出u和v，将等式两边分别点乘v0和v1的到两个等式。

1(v2) • v0 = (u * v0 + v * v1) • v0

2(v2) • v1 = (u * v0 + v * v1) • v1

注意到这里u和v是数，而v0，v1和v2是向量，所以可以将点积展开得到下面的式子。

1v2 • v0 = u * (v0 • v0) + v * (v1 • v0)  // 式1

2v2 • v1 = u * (v0 • v1) + v * (v1• v1)   // 式2

解这个方程得到：

1u = ((v1•v1)(v2•v0)-(v1•v0)(v2•v1)) / ((v0•v0)(v1•v1) - (v0•v1)(v1•v0))

2v = ((v0•v0)(v2•v1)-(v0•v1)(v2•v0)) / ((v0•v0)(v1•v1) - (v0•v1)(v1•v0))

是时候上代码了，这段代码同样用到上面的Vector3类：

01// Determine whether point P in triangle ABC

02bool PointinTriangle(Vector3 A, Vector3 B, Vector3 C, Vector3 P)

03{

04    Vector3 v0 = C - A ;

05    Vector3 v1 = B - A ;

06    Vector3 v2 = P - A ;

07 

08     

09    float dot00 = v0.Dot(v0) ;

10    float dot01 = v0.Dot(v1) ;

11    float dot02 = v0.Dot(v2) ;

12    float dot11 = v1.Dot(v1) ;

13    float dot12 = v1.Dot(v2) ;

14 

15     

16    float inverDeno = 1 / (dot00 * dot11 - dot01 * dot01) ;

17 

18     

19    float u = (dot11 * dot02 - dot01 * dot12) * inverDeno ;

20    if (u < 0 || u > 1) // if u out of range, return directly

21    {

22        return false ;

23    }

24 

25     

26    float v = (dot00 * dot12 - dot01 * dot02) * inverDeno ;

27    if (v < 0 || v > 1) // if v out of range, return directly

28    {

29        return false ;

30    }

31 

32     

33    return u + v <= 1 ;

34}

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