其他题目---判断一个点是否在三角形内部

【题目】

　　在二维坐标系中，所有的值都是double型，那么一个三角形可以由三个点来代表，给定三个点代表的三角形，再给定一个点(x, y)，判断(x, y)是否在三角形中。

【基本思路】

　　方法一。
　　等面积法。如果一个点在三角形内部，那么以该点为顶的三个小三角形的面积和应该等于大三角形的面积。如果这个点在三角形的外部，那么三个小三角形的面积和要大于大三角形的面积。知道三个点，如何求该三个点为顶点的三角形的面积？使用海伦公式：S=p∗(p−a)∗(p−b)∗(p−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√，其中，a，b，c表示三个边长，p表示半周长，即p=a+b+c2。实现代码参见isInside1。

　　虽然该方法的逻辑是正确的，但是并不推荐使用该方法。因为double类型的值在计算时会出现一定程度的偏差。所以经常会出现一个点明明在三角形内部，面积却对不准的情况，最终导致判断出错。方法二则没有此顾虑。

　　方法二。
　　如果一个点O在三角形的内部，那么从三角形的一个点出发，逆时针走过所有边的过程中，点O始终在走过边的左边。如果点O在外侧，则不满足这一条件。

　　如果要逆时针走过一遍三角形，那么三个点的位置是重要的，假设输入的三个点依次是a，b，c，如果b在边ac的左边，按照a -> b -> c的顺序遍历是顺时针遍历，如果b在边ac的右边，按照a -> b -> c的顺序遍历就是逆时针遍历。如果出现前者情况，我们需要先调整一下三个点输入的顺序。

　　接下来的重点就是判断一个点是在一条边的左侧还是右侧。该问题可以使用几何上的向量积（叉积）解决。

　　设线段端点为从A(x1, y1)到B(x2, y2)，线外一点p(x, y)。
　　a⃗ =(x2−x1,y2−y1)
　　b⃗ =(x−x1,y−y1)
　　a⃗ ×b⃗ =|a⃗ ||b⃗ |sinθ
　　a⃗ ×b⃗ 决定p的位置，如果a⃗ ×b⃗ 大于0，p在线段左侧；小于0，在右侧；等于0，共线。所以有如下结论：
　　　　　　xa∗yb−xb∗ya>0 　　p在左侧
　　　　　　xa∗yb−xb∗ya<0 　　p在右侧
　　　　　　xa∗yb−xb∗ya=0 　　共线
　　一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。

　　实现代码参见isInside2。

【代码实现】

#python3.5def isInside1(x1, y1, x2, y2, x3, y3, x, y):    def getSideLength(x1, y1, x2, y2):        a = abs(x2 - x1)        b = abs(y2 - y1)        return math.sqrt(a*a + b*b)    def getArea(x1, y1, x2, y2, x3, y3):        a = getSideLength(x1, y1, x2, y2)        b = getSideLength(x1, y1, x3, y3)        c = getSideLength(x2, y2, x3, y3)        p = (a + b + c) / 2        return math.sqrt(p * (p-a) * (p-b) * (p-c))    area1 = getArea(x1, y1, x2, y2, x, y)    print(area1)    area2 = getArea(x1, y1, x3, y3, x, y)    print(area2)    area3 = getArea(x2, y2, x3, y3, x, y)    print(area3)    allArea = getArea(x1, y1, x2, y2, x3, y3)    print(allArea)    return (area1 + area2 + area3) <= allAreadef isInside2(x1, y1, x2, y2, x3, y3, x, y):    def crossProduct(x1, y1, x2, y2):        return x1 * y2 - x2 * y1    if crossProduct(x3-x1, y3-y1, x2-x1, y2-y1) >= 0:        x2, x3 = x3, x2        y2, y3 = y3, y2    if crossProduct(x2-x1, y2-y1, x-x1, y-y1) < 0:        return False    if crossProduct(x3-x2, y3-y2, x-x2, y-y2) < 0:        return False    if crossProduct(x1-x3, y1-y3, x-x3, y-y3) < 0:        return False    return True