马尔科夫随机场

马尔科夫随机场：

即加了Markov性质限制的随机场，满足两个性质：

（1）

（2） 

　　条件②中的条件概率常称为MRF的局部特性，任何过程满足条件①的概率都由条件②中的条件所唯一确定。在实际应用中很难确定这两个条件的概率。20世纪80年代，Hammersley-Clifford给出了Gibbs分布与MRF的关系，从而用Gibbs分布来求解MRF中的概率分布。

　　邻域系统的Gibbs分布是定义在Ω上的概率测度p，具有如下的表达形式：

 

　　式中，Z是归一化常数或配分函数，T是个温度常数，称为能量函数，在图像处理中，对先验模型的研究往往转换为对能量函数的研究。C表示邻域系统δ所包含基团的集合，Vc(·)是定义在基团c上的势函数(potential)，它只依赖于δ(s)，s∈c的值。δ={δ(s)|s∈S}是定义在S上的通用的邻域系统的集合。

Hammersley-Clifford定理给出了Gibbs分布与MRF等价的条件：一个随机场是关于邻域系统的MRF，当且仅当这个随机场是关于邻域系统的Gibbs分布。关于邻域系统δ(s)的MRFX与Gibbs分布等价形式表示为

 

　　上式解决了求MRF中概率分布的难题,使对MRF的研究转化为对势函数Vc(x)的研究，使Gibbs分布与能量函数建立了等价关系,是研究邻域系统δ(s)MRF的一个重要里程碑。