BZOJ 2048 2009国家集训队 书堆 数学算法 .
来源:互联网 发布:手机号码测吉凶80算法 编辑:程序博客网 时间:2024/06/01 09:13
题目大意:经典的物理上的桌边堆书问题,初中物理老师曾经还讲过,不过只记住了结论。。。没关系,简单证明一下就好
首先我们设由上至下第i本书比它下面那本书多伸出去的长度为a[i],前缀和为s[i],那么我们要求的就是s[n]
为了简化问题我们设一本书的长度为1
假设n=1
a[1]=1/2,毫无疑义
然后考虑两本书
两本书的时候,重心明显在距下面那本书左端点的3/4处,故a[2]=1-3/4=1/4
好的我知道了!第一本是1/2,第二本是1/4,那么第三本就是1/8!
这样想的同学都只过了样例。
我们考虑三本书的情况
这个是怎么算的呢?
首先先算三本书的重心距第三本书左端点的距离
第一本书的重心为1/4 + 1/2 + 1/2
第二本书的重心为1/4 + 1/2
第三本书的重心为 1/2
于是我们可以得到三本书的重心位置为(1/4*2+1/2+1/2*3)/3=1/2*2/3+1/2
于是a[3]=1-(1/2*2/3+1/2)=1/2-1/2*2/3=1/2*(1-2/3)=1/2*1/3=1/6
然后四本书的情况就不用多说了吧
讨论四本书的重心距第四本书左端点的距离
第一本书的重心位置为:1/6 + 1/4 + 1/2 + 1/2
第二本书的重心位置为:1/6 + 1/4 + 1/2
第三本书的重心位置为:1/6 + 1/2
第四本书的重心位置为: 1/2
于是四本书重心位置为(1/6*3+1/4*2+1/2+1/2*4)/4=1/2*3/4+1/2
a[4]=1-(1/2*3/4+1/2)=1/2-1/2*3/4=1/2*(1-3/4)=1/2*1/4=1/8
以此类推,我们有a[i]=1/2i
那么这个东西怎么求和呢?n<=10^18,O(n)肯定是不现实的
我们考虑调和级数极限公式
lim(n->+∞)1/1+1/2+1/3+...+1/n = ln(n+1)+r
其中r为欧拉常数 近似值约为0.57721566490153286060651209
但这是极限公式 对于n比较小的情况误差会比较大 所以当n比较小的时候O(n)暴力出解 n比较大的时候套用公式
分界线理论上O(n)能过去就行 1000W左右就可以 但是这题精度实在太低 所以1W就能过去 0MS出解
然后就水过去了。。。一不小心手贱压了下代码 然后就RANK1了。。。
此外100%达成 补番去了
- #include<cmath>
- #include<cstdio>
- #include<cstring>
- #include<iostream>
- #include<algorithm>
- #define eps 1e-10
- #define r 0.5772156649
- using namespace std;
- typedef long long ll;
- ll n,m;
- double ans;
- int main()
- {
- int i;
- cin>>n>>m;
- if(n<=10000)
- for(i=1;i<=n;i++)
- ans+=0.5/i;
- else
- ans=log(n+1.0)+r,ans/=2.0;
- ans*=m;
- printf("%d\n",(int)(ans-eps) );
- }
#include<cmath>#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>#define eps 1e-10#define r 0.5772156649using namespace std;typedef long long ll;ll n,m;double ans;int main(){int i;cin>>n>>m;if(n<=10000)for(i=1;i<=n;i++)ans+=0.5/i;elseans=log(n+1.0)+r,ans/=2.0;ans*=m;printf("%d\n",(int)(ans-eps) );}
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